lunes, 24 de noviembre de 2008

El mayor divisor

Es fácil demostrar que todo número M que venga dado por la expresión 2n-1 con n natural compuesto, es también compuesto. Lo que no es tan inmediato es calcular su mayor divisor propio. Por ejemplo, el mayor divisor de 220-1=1048575 es 349525.

¿Qué protocolo de cálculo podríamos seguir para encontrar el mayor divisor de 2n-1 (n compuesto) con un número pequeño de pasos? No es exactamente un algoritmo, sino una estrategia. Para números grandes se puede complicar, pero para n menor que 100 no debería darnos problema.

Aquí puedes estudiar algunos resultados con valores de n compuestos:

lunes, 17 de noviembre de 2008

Dos demostraciones propuestas por T. M. Apostol

En el libro “Introducción a la Teoría analítica de números” de T. M. Apostol hemos encontrado dos propuestas de demostración de nivel medio sobre números primos y compuestos:

(a) Demostrar que todo número N mayor que 12 es suma de dos compuestos.
(b) Demostrar que si 2
n+1 es primo, n ha de ser potencia de 2.

En la primera has de darte cuenta del papel que juega el número 12. Quizás debas expresar el número N en forma de binomio.

La segunda recuerda los números de Fermat. Un camino posible es el de abordar el teorema recíproco.

No son excesivamente difíciles.

lunes, 10 de noviembre de 2008

Un cuadrado conocido a medias

Ideas para el aula

Proponemos una búsqueda ordenada a partir de una cuestión similar a la siguiente:

Encuentra un número entero positivo de tres o cuatro cifras sabiendo que su cuadrado comienza con las cifras 82541…

La idea es resolverlo con calculadora u hoja de cálculo, con lo que la primera reacción, además de una búsqueda bastante larga, es obtener la raíz cuadrada de lo que tenemos, y comenzar con las cifras que nos resulten: raíz(82541)=287.. Pero ¿qué hacemos ahora? ¿irle añadiendo cifras e ir probando? ¿considerar los decimales?...Puede resultar bien, y al final de diez intentos conseguiríamos la solución, 2873, pero es que faltaban dos cifras, y por eso fue fácil. ¿Y si hubieran faltado tres?

El interés del problema, para un alumnado de Enseñanza Secundaria, es que al ignorar a priori cuántas cifras faltan, no sólo debe pensar en la raíz del número dado, sino también en la raíz del número que queda al eliminar una cifra. Lo vemos con este ejemplo:

¿Qué número tiene un cuadrado que comienza por 824… sabiendo que faltan por escribir una, dos o tres cifras?

Probamos el procedimiento anterior: Raíz(824)=28,7

Si faltaran dos cifras, deberíamos probar con números cercanos a 285, 286, 287,…y ninguno de sus cuadrados comienza con 824.

Probamos la hipótesis de que falte una cifra, con lo que deberíamos basarnos en Raíz(82)=9,05, y obtenemos otro fracaso, pues desde 90 a 100 ningún número produce un cuadrado que comience con 824.

Por último, probamos con tres cifras más. En teoría deberíamos probar desde 2850 a 2880, por ejemplo, y con paciencia llegaríamos a 2872^2=8248384

Para no alargar esta entrada, en la dirección

http://www.hojamat.es/sindecimales/aula/iniaula.htm#buscacuad


hemos ampliado la cuestión con una serie de consideraciones sobre el uso en el aula propuesto

miércoles, 5 de noviembre de 2008

Un cuadrado más una unidad



Los números de la forma n2+1 con n natural tienen un atractivo especial: un cuadrado que se estropea por añadirle un elemento más. ¿Qué hacer con esta figura? A veces da lugar a un número primo, como 17, 37 o 101, y otras a un compuesto, como 50 o 26 Este es el de la figura, que se puede convertir en un rectángulo de 2 por 13.

Lo que es seguro es que estos números nunca serán múltiplos de 3, ni de 4, y tampoco de 7, pero sí pueden serlo de 17 (13^2+1=170=17*10) o de 13 (21^2+1=442=13*34)

¿De qué depende eso? Puedes abordarlo sin especiales conocimientos de teoría de números, con el uso de una hoja de cálculo. Si prefieres profundizar, te servirá de ayuda saber que esto está relacionado con los restos cuadráticos.