sábado, 5 de septiembre de 2009

Fracciones continuas (1) – Definición

Durante este otoño iremos comentando una técnica muy poderosa pero algo olvidada, que es la de las fracciones continuas. Con ellas puedes simplificar fracciones, aproximar números irracionales, resolver ecuaciones diofánticas, etc. Para no aburrir a nuestros visitantes, se irán publicando de forma alternada con otros temas de más actualidad.

Llamamos fracción continua a la expresada de esta forma:

donde a es entero y b, c…son enteros positivos llamados cocientes. Toda fracción ordinaria se puede expresar de esta forma, y todo número irracional admite aproximaciones mediante desarrollos de este tipo. Las fracciones continuas se usan cuando se desea manejar una representación de los números reales independiente del sistema de numeración.

Por comodidad tipográfica las fracciones continuas se representan por el conjunto de sus cocientes: [a,b,c,d]

No es este blog el espacio más adecuado para estudiar todo su desarrollo teórico, que puedes encontrar en los siguientes enlaces:
http://es.wikipedia.org/wiki/Fracción_continua
http://sisbib.unmsm.edu.pe/BibVirtual/monografias/Basic/alanya_ps/contenido.htm

Nuestro interés aquí será la implementación de los algoritmos necesarios en hoja de cálculo para desarrollar un número en fracciones continuas y las aplicaciones que derivan de ello.

Si consultas la teoría descubrirás que los cocientes a, b, c,… son los que aparecen en el algoritmo de Euclides para el cálculo del m.c.d. de dos números. Así, por ejemplo, para encontrar el m.c.d. de 345 y 1280, en el algoritmo se obtienen los siguientes cocientes: 3,1,2,2,4,2



En el desarrollo mediante fracciones continuas de 1280/345 vuelven a aparecer los mismos cocientes 3,1,2,2,….¡porque se trata del mismo algoritmo orientado de forma diferente! En la siguiente imagen, capturada de la hoja de cálculo fraccont.ods (En Excel fraccont.xls),


puedes comprobar la evidente igualdad de la serie de cocientes. Comprueba que, efectivamente, es válido este desarrollo:

Expresado de otra forma: 1280/345 = [3,1,2,2,4,2]

Por tanto, el encontrar el MCD de dos números m y n se puede simultanear con el desarrollo en fracciones continuas.

(Continuará)