lunes, 7 de diciembre de 2009

Exploración de las soluciones de una ecuación diofántica

Esta propuesta, más que de Matemáticas, es de uso de una hoja de cálculo. Consiste en crear un instrumento que nos permita explorar las soluciones de una ecuación diofántica de dos variables (eventualmente tres). Por ejemplo, la solución más pequeña, con enteros positivos, de la ecuación x3+y4 = z5 está formada por potencias de 2. ¿Cómo comprobarlo con una hoja de cálculo?

Proponemos una estructura sencilla, como la de la imagen, en la que las posibles soluciones de X están situadas en la primera fila y las de Y en la primera columna, con los valores que deseemos darles, tanto en cantidad como en tipo de números:

El secreto de este instrumento es la fórmula que escribimos en la celda C4, y que después extenderemos a toda la tabla. En la imagen se ha programado la búsqueda de soluciones enteras positivas para la ecuación 3X+2Y=17. Se ha escrito en C4 la fórmula =SI(2*$B4+3*C$3=17;"SI";""). Obsérvese el uso del signo “$” para que al extender la fórmula a toda la tabla se respete la columna B y la fila 3.

Con esta fórmula, cuando 3X+2Y sea igual a 17, aparecerá la palabra “SI” y en caso contrario quedará en blanco.

En este ejemplo, como en todas las ecuaciones lineales, se observa que las soluciones forman sucesiones aritméticas (se sitúan en línea recta) : X=1, X=1+3=4; X=4+3=7 Y=5; Y=5-2=3; Y=3-2=1 Esta observación es muy útil si se usa en el aula.

Se incluyen a continuación algunas propuestas por si deseáis construiros vuestro propio explorador:

(1) El ejemplo anterior de x3+y4=z5 necesitaría una fórmula tan complicada como esta:

=SI(($B4^3+C$3^4)^(1/5)=ENTERO(($B4^3+C$3^4)^(1/5));"SI";"")

Y se obtendría la solución X=64 Y=256 y, mediante un cálculo, Z=32. Inténtalo.

(2) Prueba a encontrar las soluciones de la ecuación de Pell X2-3Y2=1. Las primeras son:

X=2, Y=1; X=7,Y=4; X=26, Y=15 ¿Puedes aportar alguna más?

(3) La ecuación X*Y*(X+Y)=4860 posee las soluciones X=12 Y=15 (y su simétrica) Para tener la seguridad de que no existen otras podríamos rellenar la fila de X y la columna de Y con todos los divisores de 4860. ¿Hay más?

Como indiqué al principio, esta es una idea sencilla para comprobar resultados y realizar algunas investigaciones.

Solver

También puedes usar la herramienta Solver de Excel (la de OpenOffice.org Calc sólo resuelve el caso lineal). Sitúas el valor X en una celda, el de Y en otra, y el primer miembro de la ecuación (como fórmula) en una tercera.

Marcas en Solver el valor de la celda objetivo, y declaras X e Y como enteras. Si nos apoyamos en valores cercanos a una posible solución, es fácil que la obtengas. Al ser un problema generalmente indeterminado, este método necesitará nuestra ayuda mediante valores cercanos apropiados.

En la imagen se ha planteado la ecuación XY(X+Y)=4860 con valores de apoyo X=1, Y=1. Al pedir Resolver nos devuelve las soluciones 12 y 15.