sábado, 19 de diciembre de 2009

Primos, semiprimos y casi primos (3)

¿Podríamos conseguir que cualquier número nos transmitiera dos números de forma simultánea sin ninguna ambigüedad, como ocurre con los semiprimos? La respuesta es afirmativa.

Observa estas factorizaciones: 24=4*6, 144=12*12, 600=24*25, 72=8*9,…

Los factores están elegidos de tal forma que dado un número (no necesariamente semiprimo) puedas adivinar qué factores te desean transmitir. Por ejemplo, ¿qué factores te transmite 120? Si has adivinado el método, sabrás que se trata de 120=10*12.

La idea es descomponer un número natural cualquiera en dos factores de forma que su diferencia sea mínima, escribiendo por convenio el menor delante del mayor.

¿Es única esta representación? Intenta demostrarlo o razonarlo.

Podemos llamar categoría rectangular C de un número N (la denotaremos por C(N) ) a la mínima diferencia (en valor absoluto) existente entre a y b al recorrer todas las factorizaciones de dos factores, es decir la diferencia entre el par de factores que se han propuesto aquí. Por ejemplo C(600)=25-24=1, C(120)=12-10=2, C(23)=23-1=22

Los números con C(N)=0 serán los cuadrados, y los de C(N)=1 los oblongos. En los números primos se cumplirá que C(p)=p-1

En la dirección

http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/propuestas/rutas/htm/ulam.htm

puedes consultar una curiosa relación de la función C(N) con la espiral de Ulam.

2 comentarios:

Anónimo dijo...

No puedo por menos felicitar al titular de este blog, D.Antonio Roldán, por el trabajo tan encomiable que ha llevado cabo, al relacionar factorización de números enteros con la espiral de Ulam. Recordemos que Stanislaw Marcin Ulam descubrió este método, que permite hallar números de azar inferiores a un número dado, cuando se aburria en una asamblea científica.
Es muy interesante la consecución de factorizar un número con divisores equidistantes, intentando conseguir dos o más divisores consecutivos, método, por otra parte, ya utilizado por los sumerios en sus famosas fracciones unitarias.
Los sumerios habían descubierto los números oblongos o heterómecos, que utilizaban para resolver una especie de ecuación de segundo grado.
Supongamos que n se multiplica por n+1 donde n(n+1)=c
n(n+1)=n^2+n=c
que podemos escribir como
n^2+n-c=0
o sea
x^2+x-c=0
¿Les suena?
Naturalmente, los sumerios sólo les interesaba una de las raíces.
Otra de las propiedades que se desprenden de este trabajo son la multiplicación de dos números primos equicidistantes en 2, esto es, primos gemelos, 5,7; 17,19; 101,103, etc., que nos lleva a la conjetura de los números gemelos planteada por Hardy y Wright a finales de 1800.
En hora buena.
Un saludo
Rafael de Barcelona

Antonio Roldán Martínez dijo...

Gracias, Rafael, por tus elogios y complementos teóricos. Tus intervenciones le están dando a este blog una altura teórica muy de apreciar.