viernes, 27 de febrero de 2009

Código de búsqueda

Quienes seguís este blog habréis advertido que se propone en él el uso de las hojas de cálculo
para investigar y divertirse.

Hoy proponemos una macro para buscar ejemplos similares al propuesto por Eugenio Manuel en su blog Ciencia del Siglo XXI - Mirando con la mente.

882+332=8833

¿Existirán otros números de cuatro cifras con esta propiedad?

Si deseas averiguarlo, implementa este código, que te sirve para Excel y para OpenOffice.org Calc

(En rojo los comentarios)

Sub busqueda
dim i,j,k,l (Cifras del número)
dim a,b,c   (a y b están formados por dos cifras)

for i=0 to 9
for j=0 to 9
for k=0 to 9
for l=0 to 9

a=10*i+j  (Formamos un número con las dos primeras cifras)
b=10*k+l  (Formamos otro con las dos últimas)
c=100*a+b   (Formamos el número total)

if a^2+b^2=c then (Si se cumple, tenemos la solución)

msgbox(a)  (Se comunican las soluciones)
msgbox(b)
msgbox(c)
end if

next l
next k
next j
next i

End Sub

La respuesta es que existe otro número de cuatro cifras con la misma propiedad ¿Cuál?.

lunes, 23 de febrero de 2009

Fórmula de Polignac

Es relativamente sencillo encontrar los divisores primos del factorial de un número natural n. Simplemente son todos los primos inferiores o iguales a n. El problema reside en calcular los exponentes a los que están elevados. Por ejemplo, la descomposición factorial de 22! es





Para obtener los exponentes Polignac propuso esta fórmula





En la que el exponente r de cada factor primo p viene dado por la suma de los cocientes enteros del número n entre las sucesivas potencias de p.

Puedes usar esta fórmula para resolver las cuestiones siguientes:

¿Cuál es el mayor divisor del factorial 12! que es cuadrado perfecto? (Solución 2073600, cuadrado de 1440) ¿En cuántos ceros termina el cociente 100!/50!? (Solución en 12 ceros) ¿Cuál es la máxima potencia de 56 que divide a 56!? (Solución 56 elevado a 9)

Si te da pereza ir contando, puedes usar la hoja de cálculo contenida en la dirección

http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm

miércoles, 18 de febrero de 2009

Dándole vueltas (3)

En el blog Números de Claudio Meller se publicó recientemente este problema:

El siguiente problema consiste en encontrar los dos únicos números de seis cifras que son iguales a un cuadrado menos uno, y en los la última mitad (los tres últimos dígitos tomados como un número de tres cifras) es el doble que la primera.

Es decir que se cumple:
abcdef = n2-1 
y abc = 2 x def 
Los dígitos abcdef no necesariamente deben ser todos diferentes.


Si las tres primeras son el doble de las tres segundas las soluciones son: 190095, 446223 y 806403 y si es al revés: 112224 y 444888

Lo bueno de este problema es que se puede abordar con distintas técnicas:

Algebraica

Es la que ofrece el autor del blog, que en esencia consiste en lo siguiente:

Podemos llamar x al número formado por las tres cifras inferiores, con lo que el resto del número sería 2000x (o bien al revés) y planteamos que 2001x = n(n+2), ya que todo cuadrado menos 1 equivale al producto de dos enteros cuya diferencia es 2 (en el caso simétrico sería 1002x=n(n+1) y deberemos intentar descomponer 2
001 en factores y ver cuáles de ellos se pueden completar a un producto de dos factores que se diferencien en dos unidades. Los factores de 2001 son: 2001*1; 667*3; 87*23 y 29*69 y se deberán completar hasta conseguir el producto del tipo n(n+2)

Hoja de cálculo sin macros

Se forma una columna con todos los múltiplos de 2001 (o de 1002) que tengan seis cifras (supongamos que es la D) y en la columna paralela siguiente (la E) se inserta una fórmula similar a la siguiente:

=SI(D6+1=ENTERO(RAIZ(D6+1))^2;"SI";"")

que viene a expresar que si D6+1 es cuadrado perfecto (igual al cuadrado de la parte entera de la raíz) se escribirá un SI, y en caso contrario se dejará en blanco. Al rellenar esa fórmula observaremos que aparece un SI en las soluciones 190095, 446223 y 806403. Cambia a 1002 y obtendrás las otras.


Hoja de cálculo con macros

Si se intenta mediante Basic, el código de macro adecuado sería:

Sub buscar
v=7
for i=1 to 999
a=1002*i (o bien 2001)
if a+1=int(sqr(a+1))^2 then
v=v+1
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(4,v).value=a (En OpenOffice Calc)
ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(v,5).Value = " " (En Excel)
end if
next i
End Sub

Sería ésta una buena ocasión para iniciarte en la programación de macros. Puedes consultar la Guía correspondiente.(http://www.hojamat.es/guias/guiaopen/guia8.pdf)

Variantes

¿Existen soluciones similares con cuatro cifras? Sí: 4623 si las dos primeras son el doble de las segundas, y 1224 y 4488 en el caso contrario. Intenta demostrarlo o encontrarlas con la hoja de cálculo.

¿Se podrían estudiar cuestiones similares con n2-4 o con n2 – 9? 

Como pista, incluimos estos números: 442221, 480240 y 760380

¿Y con n2+1?


sábado, 14 de febrero de 2009

Las cercanías del cuadrado de un primo

Alrededor del cuadrado de un número primo mayor que 3 no hay muchos más primos. El cuadrado parece que los aleja. En efecto, no son primos p2 – 1, p2 – 3, p2 – 4, p2 – 5, p2 + 1, p2 + 2 y p2 + 3

¿Podrías demostrarlo?

La clave de todo está en p2 – 1, que es múltiplo de… (piensa y demuestra)

Además, hay cuadrados de primos que están muy aislados, como el 529 = 232, al que sólo rodean los primos 521, 523, 541 y 547, entre 520 y 550, o el 1681=412 cuyos primos más cercanos son 1669 y 1893. ¿Sabrías encontrar casos similares?

lunes, 9 de febrero de 2009

Más curiosidades sobre el número 2009

Las cifras del 2009 lo construyen mediante un producto y una suma, porque 200*9+200+9=2009

Parece una peculiaridad del 2009, pero no es así. Todos los números terminados en 9 presentan la misma propiedad: 189=18*9+18+9, 1279 = 127*9+127+9

¿Sabrías demostrarlo?

Por otra parte, existen otras formas de generar el 2009 mediante una expresión del tipo a*b+a+b. Son estas: 1*1004+1+1004; 2*669+2+669; 4*401+4+401; 5*334+5+334; 14*133+14+133 y 29*66+29+66.

De hecho, casi todos los números naturales presentan este tipo de descomposición, pero algunos no, como 10, 66 ó 100.

¿Qué números naturales no se pueden expresar como a*b+a+b, con a y b también naturales?


Ampliación: Un día después de publicar esta entrada, aparece casualmente en Problemas Matemáticos una cuestión similar a la segunda propuesta, pero con dos cuestiones. Os animo a visitar este blog e intentar resolver ambas.

sábado, 7 de febrero de 2009

Sorprendente igualdad


17 + 77 + 47 + 17 + 77 + 27 + 57 = 1741725

domingo, 1 de febrero de 2009

Autogenerados por sus cifras (2)

Cuatro cifras

En la anterior entrada estudiábamos los números de cuatro cifras autogenerados por las mismas en el sentido fuerte, es decir, conservando su orden, y encontramos cinco de ellos:
2187 = (2+18)7; 1285 = (1+28)*5 ; 3972 = 3+(9*7)2 ; 3125 = (3*1+2)5=(31+2)5 ; 6455 = (64-5)*5

Si tomamos nota de todos los números generados por cada uno sin alterar el orden de las cifras, encontramos entre ellos dos cadenas muy interesantes:

6455 genera a 3125 mediante (( 6+ 4)- 5)5= 3125 y este genera a 2187, porque 3(( 1* 2)+ 5)= 2187
A su vez 1285 genera a 1281 mediante ( 1+(( 28)* 5))= 1281 y este a su vez genera 2187 con la expresión (2+1)(8-1)

Tres cifras

Investigando los de tres cifras, y aunque no parecía muy probable su existencia, hemos descubierto dos casos: 736 = 7+36 y 343 = (3+4)3

Cinco cifras

Da la impresión de que son más abundantes. Alrededor del 15625 se encuentran varios:
15642=1+56+42; 15655= =(1*5)*(6+55); 15656=1+5*6+56 y 15662=1+56+62

Aquí el rodear a una potencia adecuada entre cifras 55 ó 56 ha propiciado que aparezcan varios.

(Continuará si aparecen otros hechos interesantes)