miércoles, 24 de junio de 2009

Descanso en Julio y Agosto

Durante los meses de Julio y Agosto (verano en España) sólo se publicarán en este blog dos entradas ya programadas. Dejaré para finales de Agosto la incorporación de nuevos temas. Por cierto, en esa fecha se cumplirá el primer año de este blog.

Me ha parecido buena idea dejar algo inactivo el blog durante las semanas en las que se produce una pequeña dispersión de sus visitantes habituales, para así renovar fuerzas e ilusiones.

Con este motivo deseo agradecer las visitas que ha recibido, bastante satisfactorias en su número y actitud general de interés y cortesía.

Un afectuoso saludo.

viernes, 19 de junio de 2009

Problemas de Combinatoria con comprobación

Los problemas de Combinatoria resultan muy difíciles en la Enseñanza Media. Requieren orden y sentido común y, en menor medida, el conocimiento de los principios fundamentales y las fórmulas de variaciones, combinaciones o permutaciones. El uso de los diagramas de árbol facilita la tarea, pero siempre hay ramas que “se pierden”.

El poder comprobar un problema después de encontrar una solución da seguridad si ha sido bien resuelto, y posibilidad de rectificación en caso contrario. Para este fin hemos usado durante muchos años distintas versiones de nuestro programa Combimaq. Usaremos hoy la versión para hojas de cálculo.

Problema: Se desea diseñar una nueva bandera constituida por cinco barras verticales que tengan como fondo uno de los tres colores azul, verde o amarillo. No se quiere que un mismo color sirva de fondo a dos barras consecutivas. ¿Cuántas banderas distintas se pueden diseñar con estas condiciones?

Intenta encontrar la solución, que no te resultará muy difícil.

Comprobación

Puedes descargarte Combimaq en una de sus versiones, para OpenOfficeorg Calc o para Microsoft Office Excel 2003, en las direcciones

http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/hoja/combimaq.ods

http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/hoja/combimaq.xls

En su primera hoja debes definir el número de símbolos, si importa el orden o no, etc.

En la segunda has de definir la condición de que no haya dos colores consecutivos iguales. Para ello activa la casilla de Condición de tipo algebraico (y desactiva las demás) y rellena con la fórmula adecuada:

(SU1#SU2)*(SU2#SU3)*…

Es decir: El primer elemento es distinto del segundo, y éste del tercero y … Lo dejamos así para que lo completes tú.

La solución es el producto de dos números pares consecutivos.

viernes, 12 de junio de 2009

Múltiplo de cuadrados

Idea para el aula

El número 144 es el entero positivo más pequeño que es divisible entre 1, 4, 9 y 16, los cuatro primeros cuadrados. ¿Cuál es el número más pequeño que es múltiplo de los 20 primeros cuadrados? La solución es 54192375991353600, pero ¿cómo encontrarlo?

Llegar hasta ese número puede resultar complicado, en parte porque las calculadoras y hojas de cálculo pueden no llegar a gestionar tantas cifras. Por eso, sería preferible establecer una especie de competición en el aula para ver quién consigue el número más alto que sea múltiplo de los N primeros cuadrados. Salvo algún error por nuestra parte, esta es la solución:



Se pueden abordar varias estrategias:

* Multiplicar todos los cuadrados y después eliminar factores primos comunes. Es un método poco fiable y sujeto a errores y distracciones.

* Usar el mínimo común múltiplo. Es la mejor estrategia, pero hay que organizarla bien. Con una hoja de cálculo no es difícil, pero se produce desbordamiento de cifras.

* Ir multiplicando cada solución por los factores nuevos que aporta la siguiente. Por ejemplo, la solución para 324, si se multiplica por 361, nos da la solución para 400 ¿por qué? Es una estrategia prometedora, pero quizás requiera una cierta madurez.

* Cualquier otra que se le ocurra al alumnado, basada en ensayo y error, pero debe completarse con alguna prueba de que el número encontrado es el más pequeño posible.

Para que la experiencia tenga éxito no se deben dar pistas, tan sólo asegurarse de que se ha entendido bien la propuesta. Si acaso, presentar el número 144 como solución para N=4. Después hay que dejar que la creatividad y el trabajo en grupo hagan su efecto. Tan sólo se debe corregir un camino que no lleve a ninguna parte, para evitar frustraciones.

Si se logra algo distinto de un fracaso absoluto, se puede completar el trabajo con puestas en común, entradas de blog o confección de una página en la web del centro de enseñanza, en las que se vuelquen los distintos resultados, métodos y dificultades.

viernes, 5 de junio de 2009

Función “dígitos” (2)

La entrada anterior puede sugerir otras cuestiones similares. Por ejemplo ésta:

Si escribimos en sistema de numeración binario todos los números naturales comprendidos entre 1 y 2n, ¿cuántos “unos” hemos escrito? Se debe expresar mediante una expresión dependiente de n.

La siguiente imagen puede sugerirte la solución: