viernes, 25 de septiembre de 2009

Solución de la entrada anterior

En la entrada anterior planteábamos esta búsqueda:

¿Qué números enteros equivalen al área de un triángulo rectángulo de lados también enteros, de tres formas distintas?
Dimos como primera solución 840, que es el área de tres triángulos rectángulos distintos de lados enteros.

Área 840 Triángulos de lados 15,112 y 113 24,70 y 74 40,42 y 58

Aquí tenéis las siguientes:

Área 3360 Triángulos de lados 30,224 y 226 48, 140 y 148 80,84 y 116

Área 7560 Triángulos de lados 45, 336 y 339 72,210 y 222 120,126 y 174

Área 10920 Triángulos de lados 56,390 y 394 105,208 y 233 120,182 y 218

Área 13440 Triángulos de lados 60,448 y 452 96,280 y 296 160,168 y 232

Área 21000 Triángulos de lados 75,560 y 565 120,350 y 370 200,210 y 290

Los siguientes son 30240, 31920, 41160 y 43680. Quedáis invitados a encontrar los tres triángulos correspondientes a cada uno. Una vez que se conocen las soluciones ya no es difícil encontrar los catetos apropiados.

viernes, 18 de septiembre de 2009

Ternas pitagóricas que comparten área

La lectura de la biografía de Lewis Carroll me ha sugerido el proponer la siguiente búsqueda, inspirada en un problema que le impidió dormir una noche:

¿Qué números enteros equivalen al área de un triángulo rectángulo de lados también enteros, de tres formas distintas?

La primera solución es 840, porque las tres ternas

15, 112 y 113
24, 70 y 74
40, 42 y 58

pertenecen a lados de triángulos rectángulos de área 840.

¿Cuáles son las siguientes soluciones?

lunes, 14 de septiembre de 2009

Multicombinatorios (2)

La solución de la propuesta de la entrada anterior es el número 3003, porque


Para llegar a esta solución con hoja de cálculo existen dos caminos:

(A) Se forma el triángulo de Tartaglia. Puedes usar las hojas de cálculo contenidas en la página http://www.hojamat.es. (Ver apartado de Herramientas de Combinatoria)

Se selecciona todo el rango del triángulo y se le asigna el nombre de tartaglia.

Con la función =CONTAR.SI(tartaglia;3003) se buscan las veces en las que aparece el 3003 u otro número cualquiera que desees probar. incluso puedes escribir los números en columna y aplicar la fórmula reiteradamente.

Con este procedimiento puedes encontrar otros números “multicombinatorios”, como 120, 210, 1540, 7140, etc. Sus descomposiciones en factores primos nos pueden dar una pista del porqué de su propiedad.

120= 2*2*2*3*5; 210=2*3*5*7; 1540=2*5*7*11; 3003=3*7*11*13; 7140=2*3*5*7*17

La gran variedad de su factores primos hace que estos números puedan aparecer en cocientes de factoriales, como los usados en los números combinatorios.

(B) Se puede organizar una búsqueda en Basic.

Como el código es un poco largo, sólo daremos una idea de su construcción.

(1) Para cada número N a probar se organiza un bucle doble FOR-NEXT para el índice superior m del número combinatorio y para k el inferior

El índice m recorrerá los valores entre 1 y N, porque tiene que ser menor o igual que él.
El índice k recorrerá todos los valores hasta que el número combinatorio iguale o sobrepase a N.

Estas dos estrategias se basan en el carácter creciente de los números combinatorios salvo simetrías.

Para cada valor concreto de N se cuentan las veces en las que los valores m y k producen un número combinatorio igual a N. Se pueden eliminar los casos triviales y los simétricos.

viernes, 11 de septiembre de 2009

Multicombinatorios (1)

Todo número natural m se puede expresar como un número combinatorio, porque

Sólo una proporción pequeña de números admite otra representación (o varias) en forma de número combinatorio. Así el 6 admite tres representaciones

El número 35 admite cuatro

Los números 120 y 210 admiten seis representaciones. Aquí tienes las de 120:

No hay muchos más números entre los 10000 primeros que tengan representaciones con tantas posibilidades. Sin embargo, existe un número de cuatro cifras, capicúa, que se puede representar de ocho formas diferentes.

¿Cuál es? Puedes buscarlo en Internet o usar una hoja de cálculo.

sábado, 5 de septiembre de 2009

Fracciones continuas (1) – Definición

Durante este otoño iremos comentando una técnica muy poderosa pero algo olvidada, que es la de las fracciones continuas. Con ellas puedes simplificar fracciones, aproximar números irracionales, resolver ecuaciones diofánticas, etc. Para no aburrir a nuestros visitantes, se irán publicando de forma alternada con otros temas de más actualidad.

Llamamos fracción continua a la expresada de esta forma:

donde a es entero y b, c…son enteros positivos llamados cocientes. Toda fracción ordinaria se puede expresar de esta forma, y todo número irracional admite aproximaciones mediante desarrollos de este tipo. Las fracciones continuas se usan cuando se desea manejar una representación de los números reales independiente del sistema de numeración.

Por comodidad tipográfica las fracciones continuas se representan por el conjunto de sus cocientes: [a,b,c,d]

No es este blog el espacio más adecuado para estudiar todo su desarrollo teórico, que puedes encontrar en los siguientes enlaces:
http://es.wikipedia.org/wiki/Fracción_continua
http://sisbib.unmsm.edu.pe/BibVirtual/monografias/Basic/alanya_ps/contenido.htm

Nuestro interés aquí será la implementación de los algoritmos necesarios en hoja de cálculo para desarrollar un número en fracciones continuas y las aplicaciones que derivan de ello.

Si consultas la teoría descubrirás que los cocientes a, b, c,… son los que aparecen en el algoritmo de Euclides para el cálculo del m.c.d. de dos números. Así, por ejemplo, para encontrar el m.c.d. de 345 y 1280, en el algoritmo se obtienen los siguientes cocientes: 3,1,2,2,4,2



En el desarrollo mediante fracciones continuas de 1280/345 vuelven a aparecer los mismos cocientes 3,1,2,2,….¡porque se trata del mismo algoritmo orientado de forma diferente! En la siguiente imagen, capturada de la hoja de cálculo fraccont.ods (En Excel fraccont.xls),


puedes comprobar la evidente igualdad de la serie de cocientes. Comprueba que, efectivamente, es válido este desarrollo:

Expresado de otra forma: 1280/345 = [3,1,2,2,4,2]

Por tanto, el encontrar el MCD de dos números m y n se puede simultanear con el desarrollo en fracciones continuas.

(Continuará)

martes, 1 de septiembre de 2009

Vuelta a la tarea

Después de dos meses de descanso veraniego volvemos a la tarea de mantener este blog. Ha sido un año muy gratificante e intentaremos proseguir nuestros contactos con nuevas fuerzas. Nuestros mejores deseos para quienes lo visiten de nuevo a partir de ahora.

En los meses de otoño iremos desarrollando algunas cuestiones sobre fracciones continuas, alternándolas con otros temas de actualidad. Comenzamos con una cuestión que dejamos ahí para resolverla más adelante:

¿Sabes qué significa este desarrollo y cómo obtenerlo?

Si no conoces la teoría inténtalo según tus conocimientos.

Puedes comenzar así: 1280/345 = 3+245/345 = 3+ 1/(345/245) = 3+ 1/(1+1/(245/100)…

Más adelante explicaremos un algoritmo para obtener este desarrollo.