martes, 27 de octubre de 2009

Cubos y gnomones (3)

En las dos entradas anteriores hemos sumado números impares y potencias. La demostración algebraica de las fórmulas de este tipo puede estar sujeta a errores. Nadie puede decir que no se ha equivocado en un desarrollo algebraico de dos hojas.

Un método para comprobar cálculos de sumas de este tipo es el uso de una fórmula de interpolación. En este caso un método de interpolación adecuado es el de Newton. Se puede adaptar con cierta facilidad al caso de valores enteros equidistantes.

En la siguiente dirección puedes encontrar su implementación en Excel y Calc:

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm

Si aplicamos esta herramienta al caso de la suma de cubos tomando, por ejemplo, como primer cubo el 27, nos resultaría esta expresión: S=27 + 64(x-3)+61/2(x-3)(x-4)+5(x-3)(x-4)(x-5)+1/4(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)

Puedes comprobar su validez dando a x los valores 3,4,5,6,7,… para verifiar que se obtienen las sumas de cubos 27, 91, 216, 432, 775,…

Otro problema es el de simplificar esta expresión, que también sería una operación sujeta a errores. Si lo haces, observarás que efectivamente la fórmula equivale a T2k+r - T2k-1.

Nota: No me resisto a incluir la interpolación que se logra con la calculadora en red WIRIS, porque es un gran auxiliar en este tipo de desarrollos:


El resultado final es la diferencia de números triangulares que ya hemos obtenido para la suma 27+64+125+216+...

¿Por qué entonces usar la hoja de cálculo?

Yo tengo mi propia respuesta, y es que resulta muy divertido pedalear. No todo va a ser ir en coche.

jueves, 22 de octubre de 2009

Cubos y gnomones (2)

La solución a la cuestión (1) de la entrada anterior es la siguiente:

Todo cubo n3 de base natural n equivale a la diferencia de los cuadrados de los números triangulares Tn y Tn-1.

Basta desarrollar la expresión (n(n+1)/2)2-(n(n-1)/2)2 y comprobar que el resultado es n3 .
Es esclarecedor observar la cuestión propuesta desde el punto de vista geométrico. Si representamos la suma 7+9+11 como un embaldosado compuesto de tres gnomones, n3 se adivina apilando baldosas:


En este caso se visualiza fácilmente



Prueba a convertir en cubo de esta forma otras sumas parecidas, como 13+15+17+19.

También es atractiva la idea de formar primero el cubo como agregación de cuadrados y después convertirlo en suma de impares. Observa la figura:

viernes, 16 de octubre de 2009

Cubos y gnomones (1)

En alguna página web he vuelto a encontrar esta propiedad:

1 = 13
3+5 = 23
7+9+11 = 33
13+15+17+19 = 43

Independientemente de su elegancia, es una invitación a profundizar en otras relacionadas con ella y a justificar rigurosamente su existencia.

(1) La propiedad presentada está relacionada con otra bien conocida:

1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52

Saca consecuencias:

¿Se puede afirmar que todo cubo perfecto es diferencia de dos cuadrados?

En caso afirmativo ¿Qué tipo de números son los que pueden formar esa diferencia?

¿Podrías demostrarlo con todo rigor?

Publicaremos la solución en la siguiente entrada.

(2) La propiedad considerada nos permite encontrar una expresión algebraica para la suma de varios cubos consecutivos, por ejemplo

k3 + (k+1)3 + (k+2)3+ … + (k+r)3

¿Sabrías encontrarla?

Se pueden dar varias distintas. Si deseas comprobar la que propongas usa la hoja de cálculo

viernes, 9 de octubre de 2009

Solver nos ayuda en un problema

Hemos leído el siguiente problema en el blog “Problemas matemáticos”
(http://problemate.blogspot.com)

La igualdad 2008 = 1111 + 444 + 222 + 99 + 77 + 55 es un ejemplo de descomposición del número 2008 como suma de números distintos de más de una cifra, cuya representación (en el sistema decimal) utiliza un sólo dígito.
i) Encontrar una descomposición de este tipo para el número 2009.
ii) Determinar para el número 2009 todas las posibles descomposiciones de este tipo que utilizan el menor número posible de sumandos (el orden de los sumandos no se tiene en cuenta).

Nos ha parecido de interés para comentar las posibilidades de la herramienta Solver, tanto de Excel como de Calc (tan sólo se diferencian en pequeños detalles) para ayudarnos a encontrar una de las descomposiciones pedidas.

Este problema se puede plantear a partir de esta ecuación diofántica: N=1111x+111y+11z (si N es un número de cuatro cifras), para una vez hallados x,y , z, descomponerlos en números de una cifra del 1 al 9, para cumplir lo pedido por el problema.

Para ello podemos escribir en la hoja de cálculo y en columna, tres conjeturas para esas variables, supongamos que en las celdas G4, G5 y G6. Después, en la G7 escribimos la fórmula =1111*G4+111*G5+11*G6. Esta celda es la que deseamos que tenga el valor 2009, según pide el problema.

Elegimos la herramienta Solver, en la que concretaremos estos datos:

  • Los contenidos de las celdas han de ser enteros positivos
  • Como tipo de resolución no elegimos máximo o mínimo, sino un valor concreto
  • La celda G7 ha de tener el valor 2009, por ejemplo
En la imagen puedes estudiar el proceso de resolución



La solución obtenida, X=1, Y=7, Z=11 se puede descomponer, por ejemplo, en
2009=1111+777+66+55

Puede darte un valor de z mayor que 101, con lo que podemos pasar parte del mismo a X, ya que 1111=101*11

Como ves, el método te demanda unos ajustillos posteriores, pero es curioso que Solver ayude en este tipo de cuestiones.

domingo, 4 de octubre de 2009

Fracciones continuas (2) - Reducidas

En una entrada anterior desarrollamos la fracción 1280/345 en forma de fracción continua, formada por los cocientes [3,1,2,2,4,2], como puedes comprobar fácilmente con las hojas de cálculo fraccont.ods y fraccont.xls.


Debajo de los cocientes aparecen una serie de fracciones, llamadas reducidas o convergentes, que se van aproximando a 1280/245: 3/1, 4/1, 11/3, 26/7, 115/31 y 256/69, que resulta ser la fracción desarrollada, 1280/345, pero simplificada.

Puedes ver esta aproximación en los desarrollos decimales que figuran debajo en la hoja de cálculo.

Estas reducidas se forman calculando fracciones parciales de izquierda a derecha:

3=3; 3+1/1=4; 3+1/(1+1/2)=11/3…

La hoja de cálculo fraccont.ods (en su hoja dedicada a números fraccionarios) logra estas reducidas mediante un algoritmo clásico llamado de “los cumulantes”. Consiste en construir dos sucesiones recurrentes del tipo

Pn = pn-1*an+pn-2

siendo an la sucesión de cocientes de la fracción continua, precedidos en la primera fila por 0 y 1 y en la segunda por 1 y 0. Como ejemplo, si se aplican los cumulantes a la sucesión 1,1,1,1,1…. Resulta la sucesión de Fibonacci 1,1,2,3,5,8…

Puedes seguir estos cumulantes en las filas que contienen los numeradores y denominadores de las reducidas.


Las reducidas permiten la aproximación a una fracción con numerador y denominador grandes mediante otras que están construidas con números más pequeños. Esta utilidad la usaban los torneros cuando carecían de ruedas de determinado número de dientes y debían sustituirlas, con un pequeño error, por otras ruedas más pequeñas.

Por ejemplo, si deseamos que unos engranajes produzcan 2009 revoluciones en un eje y 2000 en otro, sus números de dientes deben seguir la proporción 2009/2000, pero se pueden sustituir por 223/222 con un error inferior a 0,000005.

La reducidas son alternativamente mayores y menores que la fracción dada, y se acercan a ella, pues la diferencia entre dos reducidas es siempre igual a la unidad dividida entre el producto de sus denominadores.

jueves, 1 de octubre de 2009

Los problemas de un tornero

Para construir una pieza, un tornero ha de ajustar unos engranajes de forma que mientras uno gire 2009 vueltas, el otro sólo recorra 2000. En este caprichoso encargo, los números son primos entre sí, por lo que no se pueden simplificar, y el tornero carece de engranajes de 2000 ó de 2009 dientes.

Le pide consejo al oficial. Éste hace unos cálculos y le ofrece la solución: “Usa un engranaje de 222 dientes y otro de 223, que nadie lo va a notar”

¿Qué operación hizo el oficial? ¿Por qué estaba seguro de que la pieza saldría bien fabricada?

(La solución, proximamente)