jueves, 16 de diciembre de 2010

Historias de un tanteo (2)

 (Esta entrada y su primera parte publicada el día 13 constituyen la colaboración de este blog en la IX edición del  Carnaval de Matemáticas, que este mes tiene como anfitrión a @trebede desde sus Rescoldos en la Trébede)


¿Cómo simular las historias posibles de un tanteo de 5 goles a 2? (Ver entrada anterior)

Si disponemos de una moneda, podemos asignar la cara al equipo A y la cruz al B. Si el resultado es 5-2, pararemos la simulación cuando A llegue a 5 o B llegue a 2 y, en ambos casos completaremos sin tirar la moneda. Por ejemplo, si la moneda nos ha proporcionado la lista de goles AABAB, completaremos hasta AABABAA, ya sin el uso del azar. Si nos resultara AAAAA la convertiríamos en AAAAABB.

Si te interesa el diseño en hoja de cálculo, te ofrecemos una simulación en la que las celdas importantes tienen todas la misma fórmula. Esto último constituye un condicionante muy útil para aprender a usar la función condicional SI.

Antes de nada, estudiemos el esquema de decisión de la simulación. Lo ordenaremos como un organigrama o árbol de decisión. La idea es que la celda que contenga la fórmula genere el símbolo A o el B de forma aleatoria, pero que pare y rellene cuando el tanteo se haya completado. Proponemos el siguiente:
 
Las variables usadas significan:

Total: Número total de goles del tanteo
Parcial: Goles totales que ya se llevan.
GA: Goles que lleva A
GB: Goles que lleva B
TA: Total de goles de A en el tanteo
TB: Ídem de B

Esta estructura da una fórmula para las celdas que contendrán los goles A ó B:




Impresiona un poco, ¿verdad?.

Si deseas estudiar más a fondo esta estructura de celdas, descarga este archivo:

http://hojamat.es/blog/tanteos.zip


Y ahora vamos con el peligro: esta simulación no produce sucesos equiprobables. En el caso del tanteo de 2 a 2, por ejemplo, resultarían más casos en AABB y BBAA que en el resto. Puedes verlo en este listado procedente de una simulación:





Si se estudia la simulación mediante un diagrama en árbol se comprenden mejor las probabilidades. Lo concretamos para un tanteo de 2-2




Los círculos de color naranja representan los momentos de parada de la simulación y su posterior relleno con A o B. Se percibe claramente la diferencia de probabilidades.

Para evitar esto se deben organizar las simulaciones completas, con todos los goles fijados, y después desechar los que no coincidan con el tanteo previsto. Por ejemplo, para simular un 3-1 tiraremos cuatro monedas seguidas, lo que nos producirá casos como AAAA, BABA que habrá que desechar, y quedarnos sólo con AAAB, AABA, ABAA y BAAA. De esta forma obtendremos sucesos equiprobables.

lunes, 13 de diciembre de 2010

Historias de un tanteo (1)

(Esta entrada y su segunda parte que publicaremos dentro de unos días constituye la colaboración de este blog en la IX edición del  Carnaval de Matemáticas, que este mes tiene como anfitrión a @trebede desde sus Rescoldos en la Trébede)


Ideas para el aula y la programación

Hace tiempo que no dábamos vueltas a una cuestión. Así que vamos a por una, que además puede tener utilidad en las aulas.

Un partido de fútbol terminó con el resultado de 5 a 2. ¿Qué tanteos previos, incluido el 0 a 0, se pudieron dar? ¿Cuántas historias pudo tener el partido hasta llegar a ese resultado final?

Este es un problema que suele figurar en textos de Combinatoria de tipo elemental o medio. La primera pregunta es muy sencilla: como los goles caen de uno en uno, para llegar al 5-2 se ha pasado por 8 tanteos (con el 0 a 0).  Respecto al número posible de historias o desarrollos, en este caso existen 21.

Si llamamos A a un equipo y B a otro, la secuencia de goles puede haber sido

AAAAABB, AAAABAB; AAABAAB, AABAAAB, ABAAAAB, BAAAAAB, AAAABBA,
AAABABA, AABAABA, ABAAABA, BAAAABA, AAABBAA, AABABAA, ABAABAA,
BAAABAA, AABBAAA, ABABAAA, BAABAAA, ABBAAAA, BABAAAA, BBAAAAA

Pensando en el uso de esta cuestión en las aulas, se puede aprovechar en varios tipos de aprendizajes distintos:

Representación

Si el alumnado ha entendido lo que se pide, ¿cómo podría representar la historia de un partido? Se podría sugerir que se inventaran varias formas, y no sólo una, pues en ese caso la que surgiría más natural es la de escribir los tanteos y perderíamos otras posibilidades. Por ejemplo, la historia ABAAABA es muy probable que la representaran como 1-0, 1-1, 2-1, 3-1, 4-1, 4-2 y 5-2. Otros acudirían a una doble columna o un diagrama en árbol:







¿Se te ocurren más formas para representar las historias? Si se lo encargas a tus alumnos quizas te den alguna sorpresa.

Recuento

¿Por qué hay 21 historias posibles para el 5 a 2?

Si usamos la primera representación del tipo AAABABA descubriremos que estamos tratando con permutaciones de 7 elementos con repetición, con A tomada 5 veces y B dos.

Según la Combinatoria, su número es 7!/(2!*5!) = 7*6/2 = 21

Si esto se plantea en el aula, el mejor momento sería el inmediato anterior a la explicación teórica. Así se trabaja el problema a base de recuentos y puestas en común sin acudir a fórmulas.

Así que este problema equivale a permutar dos elementos A y B con un número fijado para cada uno.
No es difícil descubrir que también se trata de un caso de combinaciones. En efecto, el equipo B ha de conseguir dos goles, y existen 7 ocasiones para hacerlo. El primer gol tiene 7 posibilidades en su localización y el segundo 6, luego en total son 42 y hay que dividir entre 2 porque los goles son indistingibles.

También se trata de un problema de cajas y bolas. Hay que situar dos bolas indistinguibles en siete cajas distinguibles con un máximo de una bola por caja:





Tal como se indicó antes, llegamos de nuevo a las combinaciones. El número de historias es C7,2.

Si das clases de Matemáticas les puedes plantear esto a tus alumnos: Los goles van cayendo uno a uno formando una lista de siete. ¿En qué número de orden es más probable que caiga el segundo gol del perdedor? Que cuenten, que cuenten…

Simulación

Si se reparten monedas, dados o ruletas por la clase, se podrían intentar algunas simulaciones. Por ejemplo, ¿cómo se organizaría una simulación de las historias posibles del resultado 5-2?

Proponemos una técnica que tiene un peligro oculto: Se van tirando monedas una a una. La cara puede ser un gol de A y la cruz el de B. Como A obtendrá 5 goles, al llegar a ese número rellenamos el resto con B, y si se obtienen 2 goles de B, rellenamos con A.

Puedes reflexionar sobre ello, cómo organizarlo y qué peligro tiene. Nosotros lo dejaremos para la siguiente entrada, en la que incluiremos la simulación con hoja de cálculo.

miércoles, 8 de diciembre de 2010

La suma de sus divisores es cuadrado perfecto

Nota: La simplicidad de esta propuesta me ha hecho sospechar que ya esté publicada en sus líneas generales. Después de una paciente búsqueda no he encontrado nada similar. No obstante, si alguien me avisa de un precedente, lo incluiré como comentario.

Propuesta:

El número 3 tiene una propiedad doble: si sumamos sus divisores con él incluido nos resulta un cuadrado perfecto (1+3=4=22) y si no lo incluimos, también resulta un cuadrado (1=12)

Existen tres números de tres cifras que tienen la misma propiedad. El primero es el 119, porque 1+7+17+119=144=122 y 1+7+17=25=52

¿Cuáles son los otros dos?

viernes, 3 de diciembre de 2010

Parpadeo de un dato elegido


(No sigas leyendo si no te interesa la programación de macros en OpenOffice.org)

En algunas situaciones prácticas podemos tener una gran abundancia de datos que hagan casi imposible su exploración visual. Entre ellos pueden existir algunos cuya ubicación nos interese. Por ejemplo, un lector me indicaba que para él sería útil que se destacaran los pagos que vencieran en la fecha actual. Así, cada vez que abriera la hoja, encontraría parpadeando los que hubieran llegado a su fecha.

No es fácil conseguir que parpadeen las celdas que contengan un dato que nos interese. Por eso nos vamos a tener que basar en unos datos previos que le indiquen a la hoja de cálculo qué tiene que buscar, dónde y cuántos segundos ha de mantener el parpadeo. Con más calma quizás se pudiera prescindir de alguno de ellos, pero el tema no merece más atención.

En la imagen vemos una posible cabecera. En las celdas situadas debajo podemos imaginarnos que existen grandes cantidades de datos, y que entre ellos está el elegido. En este caso hemos usado una fecha 07/11/45 y deberán parpadear todas las celdas inferiores que la contengan.



La macro que construyamos deberá leer las celdas y asignarles una variable. Supongamos que en E6 se lee Valor, en G6 Fila, H6 Columna y J6 Pausa. Esas son las variables que usaremos en el código Basic.

Una vez leídas se inician también t0, que leerá el reloj interno (timer) e indi, que llevará la cuenta de las celdas que contienen el dato elegido. También hay que preparar memorias fil y col que nos indiquen dónde está situado el dato.

Así, la estructura de nuestra macro podría ser:

(A) Se leen las variables 

Leemos Valor, Fila, Columna y Pausa, el reloj en t0 y se pone a cero el contador de veces que aparece el dato (indi) y las memorias fil y col

pausa=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(9,5).value
valor=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(4,5).value
fila=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(6,5).value
columna=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(7,5).value
t0=timer
t1=t0
indi=0
for i=0 to 50:fil(i)=0:col(i)=0:next i


(B) Se recorren las filas y columnas. 

Cuando se encuentre el dato elegido se incrementa indi y se rellenan fil(indi) y col(indi) con la referencia de la celda.

(C) Se programa una pausa temporal. 

Se puede hacer con esta rutina:

t1=t0
while t1
‘Se realiza el trabajo de recorrer celdas y parpadear
t1=timer
wend


La hora del reloj está almacenada en t0. La otra variable t1 va leyendo el timer y cuando sobrepasa la pausa se detiene. Dentro del bucle se realiza el parpadeo.

(D) Parpadeo de las celdas elegidas

Consistirá simplemente en asignar dos colores distintos a las celdas y separarlos mediante un pequeño intervalo de tiempo:

if indi>0 then
for i=1 to indi
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(col(i),fil(i)).cellbackcolor=rgb(255,100,200)
next i
end if

‘colorea de rojo apagado

for i=1 to 1e4:next i

‘mantiene ocupado el ordenador por un tiempo

if indi>0 then
for i=1 to indi
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(col(i),fil(i)).cellbackcolor=rgb(255,255,255)
next i


‘Vuelve a colorear de blanco

Como ejercicio de programación es divertido. Seguro que alguien lo puede mejorar. 

Copiamos a continuación todo el código en Basic de OpenOffice.org

Sub parpadeo
dim pausa,valor,fila,columna,celda
dim t0,t1,i,j,k,indi
dim fil(50),col(50)

pausa=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(9,5).value
valor=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(4,5).value
fila=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(6,5).value
columna=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(7,5).value

t0=timer
t1=t0
indi=0
for i=0 to 50:fil(i)=0:col(i)=0:next i
for i=8 to fila
for j=1 to columna
celda=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(j,i).value
if celda=valor then

indi=indi+1
fil(indi)=i:col(indi)=j
end if
next j
next i
while t1

if indi>0 then
for i=1 to indi
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(col(i),fil(i)).cellbackcolor=rgb(255,100,200)
next i
end if
for i=1 to 1e4:next i
if indi>0 then
for i=1 to indi
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(col(i),fil(i)).cellbackcolor=rgb(255,255,255)
next i
end if
t1=timer
wend

End Sub

lunes, 29 de noviembre de 2010

Espiral de números enteros

A partir del número 3 se construye la siguiente sucesión de números impares

3, 5, 13, 85, 157, 12325, 12461, 106285, 276341,…

¿Cómo se ha conseguido? Si consultas en la Red puedes descubrir una definición algo complicada, que está contenida en una página muy popular. Nosotros pedimos un procedimiento más simple mediante el que se genere un 5 a partir del 3, y un 13 a partir del 5, y así el mismo procedimiento en  todos.

No es difícil de adivinar

miércoles, 24 de noviembre de 2010

Aprender comprobando

Tanto Internet como los libros de divulgación matemática están llenos de listas de números que se caracterizan por ser los únicos que cumplen algún requisito. La página http://oeis.org/A084687 nos presenta la siguiente lista como la de los números enteros positivos que son múltiplos de los números formados por sus mismas cifras ordenadas en orden creciente:

9513, 81816, 93513, 94143, 95193, 816816, 888216, 933513, 934143, 935193, 941493, 951993, 2491578, 8166816, 8868216, 9333513, 9334143, 9335193, 9341493, 9351993, 9414993, 9519993, 24915798, 49827156, 81666816, 87127446, 88668216, 93333513

Este requisito ha de cumplirse en sentido estricto:
* No pueden contener cifras nulas.
* No pueden poseer ellos mismos las cifras ya ordenadas.

El primer ejemplo de la lista es el número 9513, que no contiene cifras nulas y es múltiplo de 1359, formado por las cifras 9, 5, 1 y 3 ordenadas de forma creciente.

Los cocientes que se forman son “casi todos” iguales a 7. Investiga este hecho si quieres.

Un ejercicio muy formativo es el de obtener esa misma lista con nuestros propios instrumentos, que aquí será la hoja de cálculo. Para ello debemos organizar muy bien el proceso, y en esta tarea aprenderemos de Matemáticas y de programación mucho más de lo que nos creemos. Presentamos una organización del proceso de obtención de la lista presentada, aunque sería deseable que nuestros lectores no siguieran leyendo y pasaran a su propia organización. Así también ellos, como nosotros, aprenderían probando.

Un posible esquema sería el siguiente:

Obtención de la lista de números
* Se recorren todos los números A desde un inicio hasta un número final.
* Para cada uno se realizan estas operaciones:

  •  Calcular el número de cifras de A
  •  Extraer todas las cifras de A. Si alguna es cero se rechaza el número.
  •  Ordenar las cifras
  •  Formar con esas cifras un nuevo número B
* Si A=B se rechaza el número.
* Si A es múltiplo de B se incorpora A a la lista.
* Se pasa al siguiente número

Si te interesa la programación en Basic, puedes estudiar el siguiente código comentado para OpenOffice.org Calc:

Funciones auxiliares

Para saber si m es múltiplo de n. Devuelve 1 si lo es, y 0 si no lo es

Public function esmultiplo(m,n)
if m=int(m/n)*n then esmultiplo=1 else esmultiplo=0
end function


Para contar el número de cifras

Public function numcifras(n)
numcifras=int(log(n)/log(10))+1
end function

Extrae la cifra de orden n de un número m

Public function cifra(m,n)
dim a,b
a=10^(n-1)
b=int(m/a)-10*int(m/a/10)
cifra=b
end function

Algoritmo de búsqueda

Sub busquedas
dim n,m,i,j,k,l,a,b,fila,p,q
dim ci(12)

Lee el inicio (celda G7) y el final (celda H7)

n=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(6,6).value
m=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(7,6).value
fila=8

Recorre los numeros

for i=n to m

Extrae cifras y las ordena

Extrae cifras

k=numcifras(i)
for l=1 to k
ci(l)=cifra(i,l):if ci(l)=0 then exit sub   'no se admiten cifras nulas
next l

Las ordena

if k>=1 then

for j=1 to k-1
for p=2 to k
if ci(p-1)next p
next j

end if

Construye el número con cifras ordenadas

q=0
for j=1 to k
q=q+ci(j)*10^(j-1)
next j

‘si es múltiplo, lo presenta en columna

if esmultiplo(i,q)=1 and i<>q then
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(6,fila).value=i
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(7,fila).value=q
fila=fila+1
end if

next i

end sub


Ánimo y a estudiarlo, que contiene bastante información valiosa.

jueves, 18 de noviembre de 2010

Productos consecutivos con los mismos factores

¿Sabías que el producto  de los cinco enteros consecutivos 400*401*402*403*404 tiene los mismos factores primos que el siguiente 401*402*403*404*405? En ambos casos son (salvo multiplicidad) 2 3 5 13 31 67 101 401

Hay otros casos similares, como 120*121*122*123*124 y 121*122*123*124*125 que comparten los factores 2 3 5 11 31 41 61

No existen muchos otros casos, pero se pueden encontrar para dos, tres o cuatro factores.

¿Sabrías encontrar alguno?

Si lo piensas un poco, la clave de esta propiedad es mucho más sencilla de lo que parece. La repetición de números hace que la condición previa recaiga en uno de ellos ¿en cuál?

lunes, 15 de noviembre de 2010

Números de Ore

(Con esta entrada particimamos en el VIII Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog "Los matemáticos no son gente seria", de nuestro buen amigo Juan Martínez-Tebar)

Un número entero positivo N se llama de Ore o armónico cuando la media armónica de todos sus divisores es un número entero. Por ejemplo, es armónico 140, porque sus 12 divisores son 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 y 140 y por tanto su media armónica es
Parece muy pesado este cálculo para números grandes, pero existe una simplificación. Para ello basta observar que cada divisor d posee un complementario d’ tales que d.d’=N. Este hecho permite ir sustituyendo cada cociente del tipo 1/d por d’/N, con lo que todos los denominadores resultará iguales a N y se podrán sumar los cocientes con facilidad:

Este procedimiento es fácilmente generalizable: basta multiplicar N por su número de divisores y dividir después entre la suma de los mismos:


Representamos el número de divisores mediante d(N) y su suma por s(N). Basta observar la fórmula para poder interpretarla de otra manera: La media armónica de los divisores equivale al cociente entre el número y la media aritmética de dichos divisores.

Este cambio nos permite calcular la media armónica mediante un sencillo algoritmo: Se encuentran los divisores y se van contando y sumando hasta completar el valor de d(N) y  s(N). Si esta media es entera, el número N será armónico.

Incluimos un listado en Basic que lo logra:

Sub armonico

Input n
a=0 Inicia el contador de divisores
b=0 Inicia el sumador de divisores

for j=2 to n/2+1
if esmultiplo(n,j)  then
a=a+1 Se ha encontrado un divisor: se aumenta el contador en 1
b=b+j Se aumenta el sumador con el valor del divisor
end if
next j

a=a+2 Se añade 2 para contar también 1 y N
b=b+n+1 Se añaden al sumador 1 y N
m=i*a/b  Media armónica
if m=int(m) then msgbox(“Es armónico”) else msgbox(“No es armónico”)

end sub


La siguiente tabla se ha obtenido con la repetición de este algoritmo:

N       D        S          M
6        4        12         2
28      6        56         3
140    12      336       5
270    16      720       6
496    10      992       5
672    24      2016     8
1638  24      4368     9

Los primeros números de Ore son: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190,…¿Qué llama la atención en este listado?

Efectivamente, incluye  los números perfectos 6, 28, 496, 8128,…y otros más que no lo son. Todo número perfecto se puede demostrar que también es armónico. Esto es interesante, porque si se lograra demostrar la Conjetura de Ore de que no existen armónicos impares, también se habría logrado demostrar que tampoco hay perfectos impares.

En la tabla anterior vemos que los primeros valores de la media armónica son 2, 3, 5, 6, 5, 8, 9…En ellos hay valores repetidos como el 5 y ausentes como el 4. Según un teorema de Kanold, para cada entero positivo s existe solo un número finito de enteros positivos n tales que su media armónica sea s.

martes, 9 de noviembre de 2010

Claudio nos hace razonar

El blog Números de Claudio Meller nos presentó el día 2 una interesante propuesta:

La suma divide la concatenación
1+2 divide a 12          -       12/3=4
4+5 divide a 45          -       45/9=5
16+17 divide a 1617      -    1617/33=49
49+50 divide a  4950      -    4950/99=50

¿Cuáles son los siguientes números consecutivos tal que la suma de ellos divide a la concatenación de los mismos?


Aunque desde este blog le enviamos un comentario con posibles soluciones, parecía interesante aprovechar esta cuestión para recorrer un razonamiento mixto (hoja de cálculo y Álgebra) en esa búsqueda. Usamos el proceso Exploración – Conjetura – Demostración de la conjetura – Complementos, que siempre hemos recomendado en los procesos de investigación en el aula de Matemáticas.

Exploración

Al tratar de números consecutivos y dos operaciones sencillas, era atractivo organizar una búsqueda con una hoja de cálculo. Bastaba crear una tabla similar a la siguiente:

      Número     Consecutivo   Concatenación     Suma         Cociente

        164              165               164165              329            498,98
        165              166               165166              331            498,99
        166              167               166167              333            499
        167              168               167168              335            499,01
        168              169               168169              337            499,02


y esperar a que aparecieran números enteros en el cociente.

La concatenación se programó con fórmulas del tipo 10N*a+a+1, siendo N el número de cifras de a. De esta forma fueron apareciendo las soluciones 1, 4, 16, 49, 166, 499, 1666, 4999, …

Conjetura

A la vista de los resultados, parecía que las soluciones eran de dos tipos:

A1=5*10n-1 y A2=(5*10n-2)/3

Y que los cocientes siempre estaban comprendidos entre 5*10n-2 y 5*10n+1

¿Sería siempre así?

Demostración

El cociente estudiado entre concatenación y suma se puede representar por la expresión


Donde N es el número de cifras de a. Este cociente siempre está cercano al número 5*10N-1. Precisemos más.
En efecto:


Luego los cocientes no llegarán a 6, 51, 501, 5001, 50001,…

Por otra parte


Esto hace que los cocientes enteros puedan ser también del tipo 48, 49, 498, 499, …

Así que tenemos tres posibilidades, aunque la primera no ha aparecido en  la experimentación. Seguro que se puede lograr una acotación más fina.

K1=5*10N-1      K2=5*10N-1-1     K3=5*10N-1-2

Primer caso: 



Nos lleva, al despejar la incógnita a a la expresión: a=5*10N-1-1  que nos da las soluciones 4, 49, 499, 4999, 49999,…

Segundo caso
 

Despejando a tendremos



Que siempre da un resultado entero, porque 5*10N-1 es congruente módulo 3 con 2 (¿por qué?) y nos devuelve las soluciones 1, 16, 166, 1666, 16666,…

Tercer caso

Dejamos como ejercicio ver que no puede dar solución entera.


Complementos

(1) La función  K (cociente) es creciente ¿Sabrías demostrarlo? Habría que ver que lo es en los tramos de N constante y también en los saltos de N a N+1



(2) Además, tiene infinitos puntos de discontinuidad ¿dónde?

(3) Este tema se podría extender a otras bases de numeración, pero con hoja de cálculo quizás se tuvieran que organizar cifra a cifra. Ahí dejamos la idea.

domingo, 7 de noviembre de 2010

¿En cuántas sumas de cuadrados? (5 de 5)

Reflexión final

Después de redactar las últimas entradas he recordado que en mis clases de Matemáticas, al explicar los números reales, utilizábamos el Teorema de Pitágoras para representar en la recta real los irracionales cuadráticos. Así situábamos, por ejemplo, la raíz cuadrada de 10 mediante el uso de una recta graduada y un compás:

De igual forma representábamos las raíces cuadradas de 2, 13, 17, etc.

Cosa curiosa: en tantos años nadie me preguntó por la raíz de 7 ¿Cómo se representa en la recta real? ¿Qué le hubieras respondido tú?

Hay dos respuestas al menos: una es acumular triángulos rectángulos a partir de uno de hipotenusa la raíz de 2 adosándole un cateto de medida la unidad, con lo que la hipotenusa equivaldría a la raíz de 3, y así sucesivamente, mediante catetos 1 se irían generando todas la raíces en ora de espiral




Otra es acudir a una diferencia de cuadrados. En la imagen puedes ver la representación de la raíz de 7 tomada como cateto de un triángulo de hipotenusa 4 y el otro cateto 3:


Pero este método tiene un inconveniente, y es que sólo son representables con diferencias de cuadrados los números impares y los múltiplos de 4. Por tanto, el número 14 no se podría construir ni con sumas de cuadrados ni con diferencias.

¿Sabrías indicar qué otras dos construcciones geométricas sobre un triángulo rectángulo nos permitirían representar todos los irracionales cuadráticos?

Resumen de la serie de cinco entradas:

Hemos descubierto que la descomposición de un número en sumas o bien en diferencias de cuadrados clasifica a los números enteros positivos en cuatro clases. Terminamos este ciclo de entradas como lo comenzamos, con la sección 182 de las Disquisitiones arithmeticae:

 Todo número natural según Gauss se puede representar de la siguiente forma:



Donde pi son los factores del tipo 4h+3 y los qi del tipo 4h+1.

Con esa nomenclatura podemos afirmar:

(1) Si a es par y todas la bi pares (contando el 0), N se puede descomponer en suma de dos cuadrados y en diferencia de otros dos. Igualando, N=a2+b2 = m2- n2 y produce de forma indirecta soluciones a la ecuación x2+y2+z2=u2. Sería el caso del número 17 = 42+12= 92-82, que da lugar a la identidad 42+12+82= 92

(2) Si a es impar y todas la bi pares, N equivaldrá a sumas de cuadrados pero no a diferencias. Ocurre esto con el número 10 = 32+12 que no puede escribirse como diferencia de cuadrados a causa de no poder expresarse como dos factores de la misma paridad.

(3) Si a es par y alguna bi impar, admitirá una descomposición en diferencias de cuadrados pero no en sumas (de dos). Así, 15=42-12 y no se puede descomponer en suma por ser del tipo 4h+3.


(4) Por último, no admitirán ninguna descomposición similar los que presenten a impar y alguna bi impar. Es así el número 70 = 2*5*7, que a causa del 2 y el 7 no admitirá ser expresado como suma o diferencia de cuadrados.


Insistimos en la pregunta: ¿Cómo lo podríamos representar en la recta real? Es una cuestión más bien elemental.

jueves, 4 de noviembre de 2010

¿En cuántas sumas de cuadrados? (4 de 5)

Problema del círculo de Gauss

En la anterior entrada nos aparecía el número PI de forma algo sorprendente. En esta veremos que de sorpresa nada. Todo está relacionado, y se basa en la solución del llamado Problema del círculo de Gauss.

No entraremos demasiado en la parte teórica, que podéis consultar en las páginas


o en el Blog “Juan de Mairena”


Lo que presentaremos aquí es su tratamiento con hoja de cálculo, pero con una pequeña introducción.

En las dos entradas anteriores desarrollamos los números enteros positivos como sumas de dos cuadrados de base entera. Estamos en el terreno del Teorema de Pitágoras, y si representamos todas las soluciones para un número N dado como catetos de un triángulo, los puntos representados por ellos se situarán todos en el círculo de radio la raíz cuadrada de N.

Si con una hoja de cálculo creamos una lista de valores X e Y tales que X2+Y2 sea menor o igual que N, según lo explicado, se rellenarán puntos dentro de un círculo, lo que representará perfectamente el círculo de Gauss. 

En la imagen puedes ver el gráfico correspondiente a N=22


Para conseguir esta imagen necesitaremos el algoritmo que encuentre todas las soluciones para que X2+Y2 no sobrepase N. Una vez conseguida la lista de soluciones bastará con crear un gráfico del tipo XY para conseguir la aproximación al círculo.
Se puede usar un código en el Basic de OpenOffice.org similar al siguiente (fácilmente adaptable a Excel):

Sub desarrollo(n)
dim i,j,s,t,fi,a,b,x

fi=5
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(3,fi).value=0
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(4,fi).value=0
for x=1 to n
i=0
a=sqr(x)
while <=a
j=x-i*i
if j=int(sqr(j))^2 or j=0 then
b=sqr(j)
for s=-1 to 1 step 2
for t=-1 to 1 step 2
fi=fi+1
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(3,fi).value=i*s
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(4,fi).value=b*t
next t
next s
end if
i=i+1
wend
next x
End Sub

Puedes descargarte las versiones en Excel 2007 y OpenOffice.org 3 desde la dirección

martes, 2 de noviembre de 2010

Matemáticas antiguas

Nuestro buen colaborador Rafael Parra Machío nos envía un documento sobre las Matemáticas de Egipto y Mesopotamia. Desea compartirlo para que pueda servir como ayuda y ampliación a los temas de Teoría de Números incluidos en Hojamat.es (http://hojamat.es/parra/iniparra.htm)

Lo podéis descargar desde http://hojamat.es/parra/mat_antig.pdf

Esperamos que le saquéis todo el provecho posible.

¿En cuántas sumas de cuadrados? (3 de 5)

Aparece el número PI

En la entrada anterior se presentaba una fórmula para encontrar el número de descomposiciones distintas en suma de dos cuadrados que puede presentar un número entero positivo. Vimos dos orientaciones: buscar sólo sumandos positivos o admitir también los negativos teniendo en cuenta además el orden.

Para un resultado inesperado que obtendremos más adelante vamos a elegir la segunda opción: encontrar, dado un número entero positivo N, todos los pares x, y de números enteros tales que x2+y2=N. Al número de esos pares lo podemos considerar como función de N, lo que nos permite definir NSC(N)=Número de pares de enteros x, y tales que x2+y2=N

Para implementar esta función en la hoja de cálculo podemos usar un código similar al siguiente (comentarios en cursiva):

Public function nsc(n)
dim i,a,b,ns


if n=0 then
ns=1 Tenemos en cuenta que n puede valer 0
else
ns=0   Se inicia la suma
for i=0 to sqr(n)  Busca el primer sumando
a=n-i*I  Calcula el segundo sumando
if a=int(sqr(a))^2 then  El segundo sumando es un cuadrado
if i*i<=a then Esta línea es para no tener en cuenta el orden de los sumandos
b=sqr(a) Base del segundo cuadrado
if b>0 and i>0 and b<>i then Si ambas bases son positivas y distintas hay 8 posibilidades
ns=ns+8
else  Si una es cero o so iguales, sólo hay 4
ns=ns+4
end if
end if
end if
next i
end if
nsc=ns Se recoge el resultado
end function

Esta función, si se declara Public se puede usar en la hoja de cálculo y formar una tabla que compare N con NSC(N):

N   NSC(N)
0      1
1      4
2      4
3      0
4      4
5      8
6      0
7      0
8      4
9      4
10    8

Aunque su distribución parece ser muy irregular, nos espera una sorpresa y es que si acumulamos los resultados y vamos calculando el promedio de NSC conforme crece N, este promedio tiene como límite el número PI

En la siguiente tabla puedes observar que para N=20 ya se percibe esta tendencia al límite:



Para N=500 el promedio oscila ya de una forma clara alrededor de 3,14:



y para N=8000 su valor es 3,14213.  ¡No nos libramos del número PI!

Puedes descargarte las hojas de cálculo en las que hemos implementado la fórmula de Gauss y la función NSC que cuenta todas las sumas considerando signos y orden en la dirección

http://hojamat.es/blog/sumacuad.zip

sábado, 30 de octubre de 2010

¿En cuántas sumas de cuadrados? (2 de 5)

Fórmula de Gauss

Las propiedades vistas en la anterior entrada se resumen en un criterio que no vamos a desarrollar aquí, y es que sólo se pueden descomponer en cuadrados los números en los que los factores primos del tipo 4n+3 figuren en su descomposición con exponente par. Gauss fue más allá en esa sección 182, pues dio una fórmula para contar el número de formas diferentes en las que se descompone un número en suma de dos cuadrados con base no negativa:
donde ES significa “mínimo entero igual o superior” y los factores que le siguen se corresponden con los exponentes de los factores del tipo 4n+1 aumentados en una unidad. La fórmula, como advierte Gauss, sólo es válida si los factores del tipo 4n+3 forman un cuadrado perfecto.

Así, por ejemplo, el número 325=52*13 se deberá descomponer en
N=ES((2+1)(1+1)/2)=ES(3*2/2)=ES(3)=3

En efecto, 325=12 + 182 = 62 + 172 = 102 + 152 (tres formas distintas)

Y el número 6664 sólo de una forma, pues 6664 = 23*72*17 y aplicando la fórmula nos daría

N=ES(1+1)/2 = ES(1)=1, y su descomposición única es 6664=422+702

Actualmente se prefiere considerar todas las sumas de cuadrados posibles, incluyendo bases negativas y teniendo en cuenta el orden. Esto multiplica por 8 el número de soluciones cuando x es distinto de y y ambos son no nulos, y por 4 en caso contrario. Así, el 13 presentaría ocho soluciones:

13= 22+32  = (-2)2+32  = 22+(-3)2  = (-2)2+(-3)2 = 32 +22 =(-3)2 +22 = 32 +(-2)2 = (-3)2 +(-2)2

Y el 16, cuatro: 16 = 42+02 = (-4)2+02 =02 + 42 = 02 + (-4)2

Igualmente, 8 presentaría también 4: 8 = 42+42 = (-4)2+42 =42 + (-4)2 = (-4)2 + (-4)2

¿Por qué complicar así la cuestión? Lo veremos en la siguiente entrada.

martes, 26 de octubre de 2010

¿En cuántas sumas de cuadrados? (1 de 5)

Todo comenzó con Fermat

Hay números que se pueden descomponer en suma de dos cuadrados, pero ¿de cuántas formas? Esta cuestión ha sido ya abordada en otros blogs de Matemáticas, pero aquí añadiremos técnicas y algoritmos de hoja de cálculo.

Para conseguir una respuesta a la pregunta formulada se necesitaron esfuerzos de varios matemáticos, pero todo comenzó con Fermat y su Teorema de Navidad (lo comunicó a Mersenne el 25 de Diciembre de 1640, pero no lo demostró), y que actualmente expresamos así:

Un número primo se puede descomponer en suma de dos cuadrados x2+y2 de números enteros si y sólo si es el número 2 o bien es congruente con 1 módulo 4 (es decir, si es de la forma 4n+1).

El teorema directo es difícil de demostrar, y lo ha sido a lo largo de siglos mediante diversas técnicas (descenso infinito, enteros gausianos y otros), siendo Euler el primero que lo logró. El inverso está a nuestro alcance. Inténtalo:

Un número primo congruente con 3 módulo 4 no puede descomponerse en suma de dos cuadrados de números enteros. 

Gauss, en la sección 182 de sus Disquisitiones arithmeticae destacó que esa descomposición es única, salvo orden y signo. Los dos números x e y han de ser primos entre sí ¿por qué?

De este hecho podemos obtener un criterio marginal: Si un número de la forma 4n+1 no se puede descomponer en dos cuadrados o bien lo puede de más de una forma, no es primo.

Esta propiedad de poder descomponerse en suma de dos cuadrados se mantiene si multiplicamos dos números primos de este tipo, y además se puede duplicar el número de posibles sumas. Así, si 13 = 22+32  y  5 = 22+12, al multiplicarlos obtenemos:

65 = 13*5 = 82+12  = 72+42 

Esta propiedad se desprende de la famosa identidad:

(a2+b2 )(c2+d2 )= (ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2

que nos viene a decir que este producto también es suma de dos cuadrados y además de dos formas distintas (si los sumandos son distintos):

65 = (2*2+3*1)2 +(2*1-3*2)2 = 72+42  (obsérvese que en el cálculo se ha obtenido -4 y no 4)

65 = (2*2-3*1)2 +(2*1+3*2)2 = 82+12 

Ocurre lo mismo si se multiplica el número primo por 2 (elemental ¿no?)

En la siguiente entrada veremos una fórmula de Gauss que resume lo expuesto.

miércoles, 20 de octubre de 2010

1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79, 89, 97, (Segunda parte)

Esta entrada y la anterior constituyen nuestra aportación al VII Carnaval de Matematicas. En esta ocasión, Javier Oribe desde El Máquina de Turing, va a ejercer de anfitrión.


Doblado pitagórico

Si tomamos un segmento de longitud 31 cm. y lo doblamos por cierto punto en forma de ángulo recto, podemos completar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene medida entera. No es difícil averiguar por dónde se puede doblar: basta hacerlo con un segmento de medida 7, con lo que el otro trozo mediría 24 y la hipotenusa 25.

Existen otros números con la misma propiedad: 7, descompuesto en 3 y 4, 23, doblado por 8 y 15, y otros muchos.

Te proponemos una búsqueda elemental, mediante razonamiento, hoja de cálculo o navegación por la Red:

Además de 7, 23 o 31, ¿qué otros números tienen la propiedad de engendrar un triángulo rectángulo de medidas enteras con un simple “doblado”?

Te dejamos este código por si deseas practicar:

(Dado un valor n)


Sub buscar(n)
for i=7 to n

for j=3 to i/2
k=i-j

if escuadrado(k*k+j*j)=1 then
msgbox(i)
msgbox(j)
msgbox(k)
end if

next j
next i

end sub


Si lo resuelves te llevarás una sorpresa: las soluciones son las mismas de la entrada anterior (salvo el número 1)

7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79, 89, 97, 103, 113, 119, ... y todos sus múltiplos.

Lo puedes ver en esta tabla:


7     3  4
14   6  8
17   5  12
21   9  12
23   8  15
28  12  16
31   7  24
34  10  24
35  15  20
41  20  21
42  18  24
46  16  30
47  12  35
49   9   40
49  21  28
51  15  36
56  24  32
62  14  48 ...

La razón estriba en que ambos problemas están relacionados con la ecuación 2x2-y2=k.

Ahí tienes otro reto por si deseas investigar (esta vez te estamos ayudando poco).

martes, 19 de octubre de 2010

1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79 ... (Primera parte)

Esta entrada y la siguiente (la publicaremos en un par de días) forman nuestra aportación al VII Carnaval de Matematicas. En esta ocasión, Javier Oribe desde El Máquina de Turing, va a ejercer de anfitrión.
 
1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79 ...

En una entrada del curso anterior estudiamos las ternas pitagóricas en las que la diferencia entre catetos era igual a 1. Nos podemos plantear también qué números, aparte del 1, pueden ser diferencia entre catetos en esas ternas.

(1) Afirmamos que todo número puede ser diferencia entre catetos en una terna pitagórica. ¿Cómo lo probarías en pocos segundos?

(2) Más difícil es demostrar que todo número es diferencia de catetos de infinitas formas distintas. Para ayudarte puedes demostrar previamente lo siguiente:

Si u y v engendran una terna pitagórica mediante las fórmulas 2uv, u2-v2 y u2+v2, los valores 2u+v y v engendran otra terna con la misma diferencia de catetos.

Si lo anterior es cierto, reiterando el procedimiento obtendremos infinitas ternas con la misma diferencia (salvo signo u orden). Si la primera es primitiva, todas las demás lo serán ¿Por qué?

Por ejemplo, de u=4, v=3, x=7, y=24, z=25, con diferencia entre catetos igual a 17, podemos engendrar u=11, v=4, x=88, y=105, z=137, con 105-88 = 17 y después u=26, v=11, x=572, y=555 z=797, y así tantas como queramos.

(3) Si sólo admitimos ternas primitivas, no todos los números pueden ser diferencia de catetos. Los únicos posibles son 1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79, 89, 97, 103, 113, 119, ...

Te proponemos una búsqueda de información para averiguar la razón. Sólo te indicaremos que esos números son los que sólo tienen divisores del tipo 8N+1 o 8N-1.

jueves, 7 de octubre de 2010

¿Cuántas palabras?

Idea para el aula

El otro día, después de jugar con mi nieta a inventar palabras, se me ocurrió una experiencia para el aula, y es la de organizar un proyecto de estimación del número de palabras que se pueden construir en nuestro idioma. ¿Cuántas pueden ser? ¿veinte millones? ¿sólo unos miles? ¿miles de millones? ¿trillones?... Quizás así, de improviso, no se te ocurra ninguna idea.

Parece ser que reuniendo todas las variantes locales, no llegaríamos a unos pocos cientos de miles de palabras usadas realmente (los diccionarios no suelen traer más de 90.000), pero aquí nos interesan las posibles palabras que podríamos inventar.

Objetivo del proyecto:

Estimar el número de palabras posibles que puede contener nuestro idioma.

Como el planteamiento es muy amplio, se deberían tener en cuenta estos detalles:
  • Se puede acotar la estimación a palabras de no más de cinco sílabas. Si no, nos toparíamos con molestos infinitos.
  • Es bueno que la estimación no se base sólo en  técnicas de conteo. También se deben repasar los conceptos de sílaba directa, inversa o mixta, los diptongos y los triptongos.
  • Lo normal es que en la puesta en común aparezcan grandes discrepancias en las estimaciones, lo que dará pie a discusión en grupo e incluso elección de la mejor estimación.

¿Qué podemos conseguir con esta experiencia?

  • Estudio de las sílabas y palabras como objetos de un conteo
  • Repaso de las técnicas de contar
  • Asimilación del concepto de estimación y de orden de magnitud.
  • Ejercitación en la puesta en común, muy necesaria en un tema que puede admitir variantes en resultados y métodos.
  • Experimentación de concurrencias entre dos materias muy distintas, como la Gramática y la Combinatoria.
  • Construcción de esquemas ordenados.

El proyecto podría tener estas fases:

Recuento de sílabas

La primera tarea podría consistir en contar el número posible de sílabas que comienzan con una letra determinada. No hay que ser muy exigentes en este primer paso, pero deberán considerar sílabas directas, mixtas e inversas en su caso. Por ejemplo, para la letra B se deberían considerar al menos estas: BA, BE, BI, BO, BU, BRA, BRE, BRI…BLA, BLE,…BAR, BER,..BAS, BES,…BAL,…BLAS, BLES,…BIA, BIAS, BUAI, BONS,…

No se trataría de realizar un estudio exhaustivo (imposible sin convenios previos), sino de aproximarnos al uso general de nuestro idioma. Es posible que se olviden sílabas como INS, TRANS, ABS,… pero no hay que darle importancia. Se trata de una estimación.

Se podrían contar mediante un producto cartesiano:


Este esquema nos una idea del número de sílabas que forma la B (sólo una aproximación)
1*8*5*12 = 40*12 = 480

Insistimos en que esta fase no ha de ser demasiado cuidadosa. Habrá letras que formen unas 480 sílabas y otras (como la A) que formen menos. Esto es lo bueno, que todo el planteamiento pueda ser discutido.

El mismo estudio que sugerimos sobre la B se podría repetir con las demás letras. Por simplificar, supongamos que el número medio de sílabas por letra fuera de 300 y que letras válidas en español contáramos 26. Ello nos daría una estimación de 7800 sílabas distintas.

Recuento de palabras

Seguimos con el producto cartesiano. El número de palabras entre una y cinco sílabas sería:

7800+78002+78003+78004+78005= 2,88754E+19

¿A que no esperabas que fueran tantas? Son trillones. Ahora te toca criticar esta estimación, pero reconocerás que no me van a faltar palabras para inventar con mi nieta.

Pasamos por alto que las sílabas inversas sólo aparecen en primer lugar. Se trata de dar una idea. Quizás a algún lector le apetezca realizar un estudio más fino.

Puesta en común


Este paso es imprescindible. Lo ideal sería efectuarlo con una PDI y libre discusión entre grupos. Puede durar una hora o más, pero no será tiempo perdido.

No se trata de estimar mejor o peor, sino de llegar a una idea sobre el orden de magnitud y, lo que es más importante, a un intercambio de métodos.

Publicación

También este paso es insoslayable. Repito algo que siempre comento: No has aprendido un concepto si no sabes comunicarlo a otros. Se podrá efectuar en formato de documento o presentación, como una memoria de la experiencia o usando la web o el blog del centro.

Como siempre en este blog, no sugerimos nivel educativo ni momento idóneo para organizar este proyecto. El profesor jubilado no quiere opinar sobre ello. Todo eso queda ya un poco lejano.

sábado, 2 de octubre de 2010

Cuadrados con dos trozos consecutivos

Acabo de leer en el blog NumberADay (http://maanumberaday.blogspot.com/) que el número 573 tiene la propiedad de que su cuadrado está representado en el sistema decimal con los dígitos de dos números consecutivos:

5732 = 328329

He puesto a trabajar a mi hoja de cálculo y me ha devuelto siete de esos números entre 1 y 50000.

¿Podrías encontrar alguno de ellos?

Siempre puedes acudir a la The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, pero el problema es cómo la consultas.

Suerte.

martes, 28 de septiembre de 2010

Reproducir resultados (2)

Para averiguar si un número es estrictamente no palindrómico necesitaremos una función que nos diga si es palindrómico o no en una base dada, y después recorrer todas las bases entre 2 y N-2 para descubrir si hay o no resultados negativos.

Diseñaremos la función ESCAPICUA(n, b), donde n será el número a probar y b la base del sistema de numeración. Esta función nos devolverá un 1 si el número es palindrómico y 0 si no lo es. Usamos 1 y 0 porque son más cómodos que True y False.

Necesitaremos organizar dos fases de cálculo

a) Extracción de las cifras de n en base b y almacenamiento de las mismas en una matriz c
b) Emparejamiento de las cifras de forma simétrica para averiguar si son todas iguales por parejas (caso palindrómico) o bien existe una que no es igual a su simétrica.

Primera fase: extracción de las cifras

Usaremos un algoritmo voraz, en el que n va disminuyendo de valor, con lo que la velocidad se acelera. Dividimos en cada paso n entre b, quedando el cociente como nuevo valor de n y el resto como cifra nueva. Cuando el cociente sea cero, paramos.

Puedes estudiarlo en Basic.En el listado hemos copiado n en m para preservar su valor

' extraer cifras
nopara=true    Esta variable determina si se para o no el proceso
nc=0                    Contador de cifras
while nopara
q=int(m/b):r=m-q*b  Se halla el cociente y el resto de m entre la base
if q=0 then nopara=false  Si el cociente es cero, se para
nc=nc+1:c(nc)=r:m=q   Se incrementa el contador de cifras y se almacena la nueva
wend


Segunda fase: Comparación entre cifras

Una vez almacenadas las cifras, si sólo hay una, se declara el número como palindrómico. En caso contrario, si se detecta una desigualdad entre cifras simétricas, se declara como no palindrómico.

En Basic

esca=1  Admitimos que es capicúa
if nc>1 then  Si hay más de una cifra, analizamos
for q=1 to int(nc/2)
if c(q)<>c(nc-q+1) then esca=0  En caso de desigualdad, no es capicúa
next q
escapicua=esca
end if


Si deseas implementar esta función en tu hoja de cálculo, copia el código completo:

















Public function escapicua(n,b)
dim c(50)
dim m,q,r,nc,esca
dim nopara as boolean

m=n
' extraer cifras
nopara=true
nc=0
while nopara
q=int(m/b):r=m-q*b
if q=0 then nopara=false
nc=nc+1:c(nc)=r:m=q
wend
esca=1
if nc>1 then
for q=1 to int(nc/2)
if c(q)<>c(nc-q+1) then esca=0
next q
escapicua=esca
end if
end function


Con esta función se puede rellenar una columna que actúe sobre las bases comprendidas entre 2 y N-2. Por ejemplo, en la imagen puedes comprobar que el número 19 es estrictamente no palindrómico:


Los primeros números estrictamente no palindrómicos son:

1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103… (Visto en la Wikipedia)

Hemos aplicado la prueba a 2011 y, efectivamente, no es palindrómico para ninguna base comprendida entre 2 y 2010.

Con ello hemos reproducido un resultado, con la consiguiente diversión e incremento de nuestra confianza en la comunidad matemática.Si te atreves, codifica una función ESTRICTCAP, que decida si un número es estrictamente no palindrómico. Bastará programar en Basic lo que en la imagen hemos efectuado con columnas.

lunes, 20 de septiembre de 2010

Cajas y bolas (1)

(Esta entrada es la aportación de este blog la VI Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será el Blog de Sangakoo.)

Con esta cuestión iniciamos una serie de entradas (algo que nos llevará algunos meses) a la que titularemos “Cajas y bolas”, porque usaremos esta metodología para repasar conceptos de Combinatoria.

En una entrada anterior proponíamos averiguar de cuántas formas distintas se pueden colorear de negro cincuenta celdas de un tablero de 10 por 10. La solución que proponíamos era 1008913445455641933334812497256.

El problema propuesto equivale a repartir 50 bolas en 100 cajas, de forma que
  • No puede haber más de una bola por caja. 
  • Se considera que las cajas se distinguen unas de otras, pero que las bolas son indistinguibles.


En la imagen se han repartido 5 bolas en 16 cajas sin que haya ninguna caja con más de una bola. Es fácil ver que el  número total de tales repartos es el número combinatorio C16,5 ya que la operación ha consistido en extraer un subconjunto de 5 elementos en un conjunto de 16, lo que constituye la definición de combinaciones sin repetición.

En el problema que nos ocupa de colorear 50 cuadrados negros en un cuadrado de 100 la solución será  C100,50 = 100!/(50!*50!) = 1008913445455641933334812497256

Este modelo concreto de cajas y bolas (bolas indistinguibles y no más de una bola por caja) tiene otras muchas aplicaciones:

Loterías

En la Lotería Primitiva de España se extraen seis bolas de un total de 49, que es lo mismo que acomodar seis bolas indistinguibles en 49 cajas numeradas. Quizás no hayas entendido la frase anterior. Repásala. Es como si en el sorteo tuviéramos un tablero de 49 números y marcáramos con una X los premios que han salido. Por tanto, el número de posibilidades es el número combinatorio C49,6 = 13983816

Este mismo modelo concreto de cajas y bolas (más adelante veremos otros) nos servirá, pues, en todos los sorteos que se efectúen mediante extracciones y en los que no influya el orden de los resultados.


Permutaciones con repetición

El ejemplo de las 5 bolas alojadas en 16 cajas también se puede interpretar como que los símbolos VACÍA, LLENA se han permutado de todas las formas posibles, tomando 11 veces VACÍA y 5 veces LLENA, luego podemos usar números combinatorios también en este caso de permutaciones de dos elementos con repetición y número de apariciones fijado para cada uno.

En el ejemplo del tablero de 10 por 10, serían permutaciones de 50 cuadros negros y 50 blancos. Según lo que sabemos de Combinatoria, su número sería 100!/(50!*50!), que coincide con la solución propuesta del número combinatorio C100,50.

¿Qué cambiaría si las bolas fueran distinguibles?

martes, 14 de septiembre de 2010

Múltiplos decrecientes

A principios de verano leí una interesante propuesta en el blog
“Mis acertijos” de Rodolfo
http://www.misacertijos.com.ar/2010/06/mi-forma-de-dividir.html
cuya lectura recomiendo.

Lo que se afirma esencialmente en esa entrada es que si un número, por ejemplo 137821, deseamos saber si es divisible por otro, como 283, basta reiterar la siguiente operación: se multiplica el primer número salvo la última cifra por precisamente la última cifra del segundo, y después se procede al revés, el segundo salvo la última multiplicado por la última del primero. Después se restan los resultados:

13782*3–28*1 = 41318

Reiteramos esta forma de calcular, y si llegamos a cero, el primer número es divisible entre el segundo:
4131*3-28*8= 12169; 1216*3-28*9=3396; 339*3-28*6=849; 84*3-28*9=0

Según esto, el terminar en cero es señal de que son divisibles. ¿Por qué funciona esto?

No he encontrado ninguna referencia a este tema, por lo que intentaré un desarrollo propio. Ruego a mis seguidores me corrijan si cometo alguna inexactitud.

Llamaré “producto cruzado” al propuesto por Rodolfo. Si expreso ambos números A y B (los tomaré enteros positivos) en el sistema decimal y separo la última cifra, los podré expresar así:

A=10m+n y B=10p+q, 
donde n y q son las últimas cifras, con lo que el producto cruzado vendrá dado por mq-pn.

Podemos afirmar lo siguiente:

Si A es múltiplo de B, el producto cruzado mq-pn también será múltiplo de B y además menor que A y positivo. Por tanto, reiterando obtendremos una sucesión decreciente de múltiplos de B que llegarán al cero.

Si A es múltiplo de B podremos escribir A = kB siendo k un entero positivo, y plantear este sistema de ecuaciones:

Y en forma matricial

Podemos despejar10 y 1 mediante la matriz inversa, y quedará:



Lo que nos lleva a estos valores:


10=B(qk-n)/(mq-pn)  y  1=B(-pk+m)/(mq-np) 

y de esta última obtenemos lo que nos interesa:

mq-np=B(m-pk), es decir, que el producto cruzado es múltiplo de B

Nos queda ver que A es mayor que mq-np y que éste es positivo o cero.

A>=10m>mq>mq-np, luego los múltiplos son decrecientes. Además, mq-np es siempre positivo o cero ¿de qué depende esto? No es difícil de razonar. Inténtalo.

Por tanto, en algún momento llegarán al cero, ya que por la forma de calcular todos son positivos.

Espero no haber cometido ningún error u olvido. En caso contrario ruego a los lectores me avisen y publico una actualización.


Ideas para ampliar y reflexionar

(a) ¿Se mantendrá la propiedad estudiada en bases distintas de 10? Puedes efectuar pruebas con nuestra calculadora en cualquier base (http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#calcubase). Si la respuesta es afirmativa, ¿cómo afecta a este proceso el uso de base 100 o 1000?

(b) No todos los pares de números múltiplo-divisor llegan al valor cero con el mismo número de pasos. Dependerá de la cifras de arrastre, como hemos visto en párrafos anteriores. ¿Podrías concretar más?

(c) ¿Qué obtendríamos con el algoritmo propuesto si A no es múltiplo de B pero ambos lo son de un tercer número C?

lunes, 14 de junio de 2010

¿Eres un poligonal?

(Esta entrada constituye la participación de este blog en el V Carnaval de Matemáticas)


Si reuniéramos en una sola lista los números triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc. ¿llenarían todo el conjunto de los números naturales?

Podemos llamar orden n del número poligonal al número de unidades incluidas en uno de sus lados, y tipo k, al número de lados. Evidentemente, si consideramos los poligonales de orden 1, cualquier número N se puede representar como un polígono de N lados, luego la respuesta es afirmativa.


El problema es más interesante si sólo estudiamos números poligonales de al menos orden 2.

Existen números que son triangulares, como el 10, pentagonales, como el 22, o incluso algunos, como el 28, que son triangulares y hexagonales simultáneamente, como puedes observar en la imagen:


¿Existirán números que sólo puedan considerarse como poligonales de grado uno y no admitan otras representaciones poligonales?

Dado un número cualquiera, como 2011 (el 2010 ya vimos que era poligonal de orden 21), sería interesante averiguar qué representaciones admite como número poligonal. Se puede abordar el problema desde varios puntos de vista. Veamos el más sencillo:

Generación mediante triangulares

Todo número poligonal de orden n y tipo k se puede generar mediante esta fórmula:


Pn,k = n + (k-2)Tn-1

siendo Tn-1 el número triangular de orden n-1.

No es difícil justificar esta fórmula La simple visión de la siguiente imagen te permite comprenderla. Las unidades azules representan a n, y las de los otros tres colores a los números triangulares que terminan de engendrar el pentagonal:



Así que para saber si un número es n-gonal bastará restarle el valor de n y después averiguar si la diferencia contiene a Tn-1 un número entero de veces.

En una hoja de cálculo se pueden organizar tres columnas: La primera con los números naturales n, la segunda con sus sumas acumuladas, que serían los números triangulares T, y en la tercera el cociente (N-n)/T. Si este cociente es entero, hemos descubierto que el número probado es n-gonal.

En la imagen tienes el proceso para descubrir que el número 28 es 28-gonal, hexagonal y triangular. como ya sabíamos.



También podemos comprobar que hay números, como el 2011, que sólo admiten formar un polígono de grado 1 y tipo 2011. Sin embargo, el 2016 admite seis representaciones, con tipos 2016, 673, 136, 24, 6 y 3.

Generación mediante fórmula

De la generación de números poligonales a partir de triangulares se puede deducir la popular fórmula

Pn,k=n(n(k-2)-(k-4))/2

Si la consideramos como ecuación de segundo grado en n, se puede exigir que su discriminante sea cuadrado perfecto, es decir:

D=(k-4)2+8Pn,k(k-2)=M2

Esto nos da otro procedimiento: Recorremos valores de k y observamos cuáles producen cuadrados perfectos y después si el valor de n es entero. En la imagen puedes observar cómo se organiza la búsqueda en hoja de cálculo

lunes, 10 de mayo de 2010

Viaje de ida y vuelta a la Geometría

 (Esta entrada forma parte del IV Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Zurditorium)


Según leo en el libro “Cardano y Tartaglia. Las matemáticas en el Renacimiento italiano” de Francisco M. Casalderrey, a Fibonacci le interesó mucho el estudio del triángulo de lados con medidas enteras 13, 14 y 15, porque la altura correspondiente al lado que mide 14 también tiene medida entera, 12, así como los dos segmentos que forma en la base, 5 y 9 respectivamente.
¿Existirán más triángulos con esa propiedad?

La respuesta es afirmativa. Existen muchos, y no es difícil encontrarlos. Uno de ellos, con la misma superficie que el anterior, está formado por los lados 17, 21 y 10.

¿Podrías encontrar alguno más con medidas inferiores a 50?

Más difícil es que esta propiedad la presenten dos alturas. Existen algunos triángulos en los que aparece por simetría, como el de la imagen. Los lados son 25, 25 y 30, las alturas 24, 24 y 20, y los segmentos en las bases 7, 15 y 18. Todos son enteros.

¿Existirán triángulos en los que dos alturas presenten segmentos de medida entera sin acudir a la simetría?

Pues también la respuesta es afirmativa. En la imagen tienes uno:


Los lados miden 70, 65 y 75 respectivamente, una altura de 56 divide al 75 en dos segmentos de medidas 33 y 42, y la otra altura, de 60, divide a 70 en 25 y 45.

El hecho de que este triángulo sea semejante al de Fibonacci y posea una propiedad más amplia nos demuestra que estas cuestiones no son geométricas, sino aritméticas. Todo depende de si una medida se expresa como entera o como fraccionaria. Una altura que en el primero medía 11,2. en este mide 5 veces más, lo que la convierte en entera: 56.

Con lo explicado en el párrafo anterior puedes encontrar triángulos en los que todos los lados, alturas, segmentos formados por estas en las bases, perímetro y área tengan medida entera.


Para conseguirlo puedes seguir estos pasos:

(1) Elige dos ternas pitagóricas, preferentemente primitivas, como 20, 21, 29 y 8, 15, 17.

(2) Multiplícalas ambas por un valor entero adecuado a fin de unificar las medidas de sus dos catetos mayores (el que sean los mayores no es necesario, pero te garantiza que el triángulo sea acutángulo) Puedes buscar el MCM de ambos valores. En nuestro ejemplo se convertirían en 56,105,119 y 100,105,145

(3) Arma un primer triángulo tomando como altura el cateto común:

Con esto te garantizas que el seno y el coseno de los ángulos opuestos a la altura 105 sean números racionales, y como consecuencia que también lo sean los del tercer ángulo ¿Por qué?

También tienes garantizada una medida racional para las alturas y segmentos que quedan, pero no necesariamente enteros.

(4) En efecto, usando la fórmula (a2+b2-c2)/(2a) para todos los pares de lados nos resultarán las medidas de los segmentos, necesariamente racionales. Puedes verlo en un desarrollo con Wiris:


A la vista del desarrollo encontrarás los factores por los que hay que multiplicar (para conseguir una semejanza de triángulos) a fin de que todas las medidas sean enteras. En este caso por 29 y 17.

Con esto llegamos a la meta:


Sólo nos queda calcular las alturas y tendremos el triángulo completo:


Puedes analizar también el área, el perímetro y el radio de la circunferencia inscrita. Sus valores son: A= 1990571310, P=207060 y R=19227

En definitiva, de la Geometría sólo hemos usado fórmulas, por lo que el resultado constituye un regreso a la Aritmética de números enteros y racionales, que es su verdadero sitio, aunque lo hayamos representado como un triángulo. Quizás por eso le gustaba a Fibonacci.