viernes, 31 de diciembre de 2010

Propiedades del número 2011 (2)

Despedimos el año con un interesante documento de nuestro colaborador Rafael Parra Machío. A partir del número 2011 y, siguiendo una metodología muy apreciada por él, va desarrollando aspectos muy curiosos de los números primos, como su casificación, categorías y  algunos tipos especiales de los mismos. Incluye también múltiples representaciones del número 2011 y referencias históricas.

Puedes descargarlo desde http://hojamat.es/parra/prop2011.pdf

Aprenderás mucho con su lectura y, lo más importante, abrirá caminos para tu curiosidad.

Feliz 2011

miércoles, 29 de diciembre de 2010

Propiedades del número 2011 (1)

En esta ocasión la bienvenida al nuevo año la daremos en dos entradas. En esta primera completamos varias curiosidades con alguna cuestión, por si deseas ampliarlas. En la segunda, que publicaremos el día 31, presentaremos un documento de nuestro colaborador Rafael Parra Machío, en el que aprovecha el número 2011 para presentar muchos conceptos sobre números primos

En el mundo de los primos

¡Por fin! Llevábamos ocho años sin un año primo. Este es el que ocupa el lugar 305 en la lista. Al ser primo, su indicador de Euler (función phi) será 2010, que se expresa con los mismos dígitos que 2011 (pocos primos tienen esta propiedad)

Además, es suma de tres primos consecutivos: 2011=661+673+677, y también de once primos consecutivos.  Investiga cuáles.

Es media aritmética de 42 pares distintos de primos: (1993+2029)/2=2011;  (1933+2089)/2=2011; (1879+2143)/2=2011; …. (42 pares) …; (3+4019)/2=2011. Ninguno de ellos termina en 7 ¿Casualidad o se puede justificar?

Los números primos consecutivos con 2011 se engendran cambiando un solo dígito en el anterior y eventualmente su orden:

2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069
(visto en http://www.research.att.com/~njas/sequences/A157885)
 

No es un primo de Sofíe Germain, porque 2011*2+1=4023 no es primo, pero sí lo es 2011*2-1 = 4021

Con cuadrados, triangulares o capicúas

Como todos los primos, sólo admite una representación como diferencia de cuadrados. Te damos unos segundos para encontrarla. Sin embargo, no hay que buscar una representación como suma de cuadrados. No va a salir. ¿Por qué?

Pero también es diferencia entre dos capicúas, uno de ellos de tres cifras. ¿Cuáles? Si invertimos 2011 a 1102, también es diferencia entre capicúas: 1102=101101-99999.

Puestos a invertir, si 20112 = 4044121, el cuadrado al invertir las cifras también resulta invertido:  11022 =  1214404. Y otra curiosidad: los dígitos de 2011 forman un cuadrado perfecto al sumarlos 2+0+1+1=4, y los dígitos de su cuadrado también: 1+2+1+4+4+0+4=16. Alguien dirá que esto no es ninguna curiosidad. ¿O sí? ¿En qué tipos de números se cumple?

2011 se puede descomponer en suma de tres cuadrados de cuatro formas diferentes:

2011=7^2+21^2+39^2
2011=9^2+9^2+43^2
2011=9^2+29^2+33^2
2011=21^2+27^2+29^2

En suma de cuatro cuadrados admite (salvo error nuestro) 47 representaciones, siendo los cuadrados iguales o distintos.

¿Quieres comprobarlo tú? Amplía este código:

b=sqr(2011)+1
for i=0 to b
for j=0  to i
for k=0 to j
for m=0 to k

a=i^2+j^2+k^2+m^2

if a=2011 then
msgbox(i)
msgbox(j)
msgbox(k)
msgbox(m)
end if

next m
next k
next j
next i

Se descompone en suma de triangulares de dos formas:
2011=120+1891    2011=300+1711


Otros

Al elevarlo a cuadrado con la multiplicación tradicional, no produce arrastres de cifras. Por eso son “económicos” en cifras: sólo usan 0,1,2 y 4.

En el 2011 la suma de dígitos coincide con el número de dígitos ¿Cuál es el siguiente número con esa propiedad?

domingo, 26 de diciembre de 2010

Uso de tablas en el aula

Desde la llegada de las calculadoras y los ordenadores el manejo de tablas se ha ido olvidando en nuestras aulas. Sin embargo, su poder formativo es muy grande, y son imprescindibles cuando su contenido está compuesto por datos experimentales, que no se pueden obtener con una calculadora.

¿Qué capacidades del alumnado podemos enriquecer con ese uso? Desarrollamos a continuación algunas de ellas:

Consulta

Muchas de las tablas verdaderamente útiles son de doble entrada (en parte para aprovechar espacio en los libros) pero a los alumnos les puede suponer una gran dificultad su manejo. Un ejemplo de ello son las antiguas tablas de cuadrados. Reproducimos a continuación un fragmento de una tabla de cuadrados construida con Hoja de Cálculo.



0
1
2
3
4
5
2
4
4,0401
4,0804
4,1209
4,1616
4,2025
2,1
4,41
4,4521
4,4944
4,5369
4,5796
4,6225
2,2
4,84
4,8841
4,9284
4,9729
5,0176
5,0625
2,3
5,29
5,3361
5,3824
5,4289
5,4756
5,5225
2,4
5,76
5,8081
5,8564
5,9049
5,9536
6,0025
2,5
6,25
6,3001
6,3504
6,4009
6,4516
6,5025
2,6
6,76
6,8121
6,8644
6,9169
6,9696
7,0225
2,7
7,29
7,3441
7,3984
7,4529
7,5076
7,5625
2,8
7,84
7,8961
7,9524
8,0089
8,0656
8,1225
2,9
8,41
8,4681
8,5264
8,5849
8,6436
8,7025


La hemos elegido porque las cifras que figuran en la fila superior son centésimas, lo que obliga a realizar un esfuerzo de interpretación. Así, para calcular el cuadrado de 2,64 se deberá buscar la fila 2,6 y ver dónde se cruza con la columna del 4, con un resultado de 6,9696.

Son muchas las tablas estadísticas y experimentales que pueden presentar este tipo de dificultades, por lo que creemos que dedicarles a las tablas algunas sesiones no será tiempo perdido.

Interpolación

Otra utilidad formativa de las tablas proviene de la necesidad de efectuar interpolaciones debido a que no nos presentan todos los resultados posibles. Además, en cada interpolación se puede tener una idea del error cometido, al tener siempre dos valores de la tabla acotando al verdadero.

Un ejemplo de interpolación directa:
¿Cuál es tu mejor aproximación para el cuadrado de 2,427 (usando la tabla)?

Buscamos los datos de 2,42 y 2,43, con los resultados siguientes:

Número    Cuadrado
2,42          5,8564
2,43          5,9049

Calculamos la tasa de variación: T=(5,9049-5,8564)/(2,43-2,42) = 4,85 y la multiplicamos por 0,007, que es la cifra siguiente, con un resultado de 0,03395, que sumado al primer valor nos da una aproximación de 2,4272 = 5,89035 próximo al que nos daría una calculadora: 2,4272 = 5,890329.

No nos extendemos en este tema, pero nuestros lectores pueden ir reflexionando sobre todas las operaciones mentales que han efectuado los alumnos para entender y reproducir los cálculos anteriores

Extensión de la tabla

Interpolación inversa: Encuentra mediante la tabla el valor aproximado de la raíz cuadrada de 731

En primer lugar deberán entender que esta tabla, mediante multiplicaciones por potencias de 10, puede resolvernos otros cálculos que no figuren en ella. En este caso buscamos los dos valores más aproximados a 7,31, que son

Número    Cuadrado
2,7            7,29
2,71          7,3441

Procedemos como en el anterior ejemplo. Calculamos la tasa inversa TI=(2,71-2,7)/(7,3441-7,29) = 0,18484288 la multiplicamos por (7,31-7,29), con un resultado de 0,00369686, que sumado a 2,7 nos da una aproximación a la raíz de 7,31 igual a 2,70369686. Como nos piden la raíz de 731 y no de 7,31, multiplicamos por 10 (¿por qué?) y finalmente obtenemos el valor 27,0369686, aproximado al que nos da la calculadora: 27,0370117

Si revisamos todo lo efectuado, también descubriremos en este cálculo los conceptos y capacidades que se adquieren con él. No es una propuesta fácil. Se manejan conceptos de cierta profundidad, por lo que deberíamos darnos por satisfechos con cualquier logro que se alcance.

Construcción

La construcción de estas tablas estaría reservada al profesorado y a alumnado de enseñanza media. Una idea, llevada  la práctica por el autor, es la de que los alumnos de Informática construyan tablas con hojas de cálculo y se las pasen a otros cursos para que practiquen con ellas. Así el beneficio es doble.

No es trivial esta construcción. Invitamos a los lectores a reproducir la tabla ejemplo que hemos insertado y podrán comprobar que hay que ir con cuidado. Proponemos también construir la siguiente tabla de interés compuesto, en la que dados el tipo de interés anual y los años transcurridos nos devuelva el tipo acumulado (no el TAE).




Años




 Tipo
1
2
3
4
5
1%
1,0%
2,0%
3,0%
4,1%
5,1%
2%
2,0%
4,0%
6,1%
8,2%
10,4%
3%
3,0%
6,1%
9,3%
12,6%
15,9%
4%
4,0%
8,2%
12,5%
17,0%
21,7%
5%
5,0%
10,3%
15,8%
21,6%
27,6%
6%
6,0%
12,4%
19,1%
26,2%
33,8%
7%
7,0%
14,5%
22,5%
31,1%
40,3%

miércoles, 22 de diciembre de 2010

No podía ser otro

Mi última crítica (por este año) a la irracionalidad de las opiniones que solemos tener respecto a la Lotería de Navidad (esta vez completamente en broma):

Yo sabía que saldría el número 79250, porque es de los pocos que es igual a la suma de ¡88 números primos consecutivos!:

607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213

Y claro, 88=22*4, 22 es la fecha del sorteo y 4 es la suma  de las cifras del 2011, que es el año en el que nos gastaríamos el dinero. ¡No podía ser otro!

Feliz Navidad.

jueves, 16 de diciembre de 2010

Historias de un tanteo (2)

 (Esta entrada y su primera parte publicada el día 13 constituyen la colaboración de este blog en la IX edición del  Carnaval de Matemáticas, que este mes tiene como anfitrión a @trebede desde sus Rescoldos en la Trébede)


¿Cómo simular las historias posibles de un tanteo de 5 goles a 2? (Ver entrada anterior)

Si disponemos de una moneda, podemos asignar la cara al equipo A y la cruz al B. Si el resultado es 5-2, pararemos la simulación cuando A llegue a 5 o B llegue a 2 y, en ambos casos completaremos sin tirar la moneda. Por ejemplo, si la moneda nos ha proporcionado la lista de goles AABAB, completaremos hasta AABABAA, ya sin el uso del azar. Si nos resultara AAAAA la convertiríamos en AAAAABB.

Si te interesa el diseño en hoja de cálculo, te ofrecemos una simulación en la que las celdas importantes tienen todas la misma fórmula. Esto último constituye un condicionante muy útil para aprender a usar la función condicional SI.

Antes de nada, estudiemos el esquema de decisión de la simulación. Lo ordenaremos como un organigrama o árbol de decisión. La idea es que la celda que contenga la fórmula genere el símbolo A o el B de forma aleatoria, pero que pare y rellene cuando el tanteo se haya completado. Proponemos el siguiente:
 
Las variables usadas significan:

Total: Número total de goles del tanteo
Parcial: Goles totales que ya se llevan.
GA: Goles que lleva A
GB: Goles que lleva B
TA: Total de goles de A en el tanteo
TB: Ídem de B

Esta estructura da una fórmula para las celdas que contendrán los goles A ó B:




Impresiona un poco, ¿verdad?.

Si deseas estudiar más a fondo esta estructura de celdas, descarga este archivo:

http://hojamat.es/blog/tanteos.zip


Y ahora vamos con el peligro: esta simulación no produce sucesos equiprobables. En el caso del tanteo de 2 a 2, por ejemplo, resultarían más casos en AABB y BBAA que en el resto. Puedes verlo en este listado procedente de una simulación:





Si se estudia la simulación mediante un diagrama en árbol se comprenden mejor las probabilidades. Lo concretamos para un tanteo de 2-2




Los círculos de color naranja representan los momentos de parada de la simulación y su posterior relleno con A o B. Se percibe claramente la diferencia de probabilidades.

Para evitar esto se deben organizar las simulaciones completas, con todos los goles fijados, y después desechar los que no coincidan con el tanteo previsto. Por ejemplo, para simular un 3-1 tiraremos cuatro monedas seguidas, lo que nos producirá casos como AAAA, BABA que habrá que desechar, y quedarnos sólo con AAAB, AABA, ABAA y BAAA. De esta forma obtendremos sucesos equiprobables.

lunes, 13 de diciembre de 2010

Historias de un tanteo (1)

(Esta entrada y su segunda parte que publicaremos dentro de unos días constituye la colaboración de este blog en la IX edición del  Carnaval de Matemáticas, que este mes tiene como anfitrión a @trebede desde sus Rescoldos en la Trébede)


Ideas para el aula y la programación

Hace tiempo que no dábamos vueltas a una cuestión. Así que vamos a por una, que además puede tener utilidad en las aulas.

Un partido de fútbol terminó con el resultado de 5 a 2. ¿Qué tanteos previos, incluido el 0 a 0, se pudieron dar? ¿Cuántas historias pudo tener el partido hasta llegar a ese resultado final?

Este es un problema que suele figurar en textos de Combinatoria de tipo elemental o medio. La primera pregunta es muy sencilla: como los goles caen de uno en uno, para llegar al 5-2 se ha pasado por 8 tanteos (con el 0 a 0).  Respecto al número posible de historias o desarrollos, en este caso existen 21.

Si llamamos A a un equipo y B a otro, la secuencia de goles puede haber sido

AAAAABB, AAAABAB; AAABAAB, AABAAAB, ABAAAAB, BAAAAAB, AAAABBA,
AAABABA, AABAABA, ABAAABA, BAAAABA, AAABBAA, AABABAA, ABAABAA,
BAAABAA, AABBAAA, ABABAAA, BAABAAA, ABBAAAA, BABAAAA, BBAAAAA

Pensando en el uso de esta cuestión en las aulas, se puede aprovechar en varios tipos de aprendizajes distintos:

Representación

Si el alumnado ha entendido lo que se pide, ¿cómo podría representar la historia de un partido? Se podría sugerir que se inventaran varias formas, y no sólo una, pues en ese caso la que surgiría más natural es la de escribir los tanteos y perderíamos otras posibilidades. Por ejemplo, la historia ABAAABA es muy probable que la representaran como 1-0, 1-1, 2-1, 3-1, 4-1, 4-2 y 5-2. Otros acudirían a una doble columna o un diagrama en árbol:







¿Se te ocurren más formas para representar las historias? Si se lo encargas a tus alumnos quizas te den alguna sorpresa.

Recuento

¿Por qué hay 21 historias posibles para el 5 a 2?

Si usamos la primera representación del tipo AAABABA descubriremos que estamos tratando con permutaciones de 7 elementos con repetición, con A tomada 5 veces y B dos.

Según la Combinatoria, su número es 7!/(2!*5!) = 7*6/2 = 21

Si esto se plantea en el aula, el mejor momento sería el inmediato anterior a la explicación teórica. Así se trabaja el problema a base de recuentos y puestas en común sin acudir a fórmulas.

Así que este problema equivale a permutar dos elementos A y B con un número fijado para cada uno.
No es difícil descubrir que también se trata de un caso de combinaciones. En efecto, el equipo B ha de conseguir dos goles, y existen 7 ocasiones para hacerlo. El primer gol tiene 7 posibilidades en su localización y el segundo 6, luego en total son 42 y hay que dividir entre 2 porque los goles son indistingibles.

También se trata de un problema de cajas y bolas. Hay que situar dos bolas indistinguibles en siete cajas distinguibles con un máximo de una bola por caja:





Tal como se indicó antes, llegamos de nuevo a las combinaciones. El número de historias es C7,2.

Si das clases de Matemáticas les puedes plantear esto a tus alumnos: Los goles van cayendo uno a uno formando una lista de siete. ¿En qué número de orden es más probable que caiga el segundo gol del perdedor? Que cuenten, que cuenten…

Simulación

Si se reparten monedas, dados o ruletas por la clase, se podrían intentar algunas simulaciones. Por ejemplo, ¿cómo se organizaría una simulación de las historias posibles del resultado 5-2?

Proponemos una técnica que tiene un peligro oculto: Se van tirando monedas una a una. La cara puede ser un gol de A y la cruz el de B. Como A obtendrá 5 goles, al llegar a ese número rellenamos el resto con B, y si se obtienen 2 goles de B, rellenamos con A.

Puedes reflexionar sobre ello, cómo organizarlo y qué peligro tiene. Nosotros lo dejaremos para la siguiente entrada, en la que incluiremos la simulación con hoja de cálculo.

miércoles, 8 de diciembre de 2010

La suma de sus divisores es cuadrado perfecto

Nota: La simplicidad de esta propuesta me ha hecho sospechar que ya esté publicada en sus líneas generales. Después de una paciente búsqueda no he encontrado nada similar. No obstante, si alguien me avisa de un precedente, lo incluiré como comentario.

Propuesta:

El número 3 tiene una propiedad doble: si sumamos sus divisores con él incluido nos resulta un cuadrado perfecto (1+3=4=22) y si no lo incluimos, también resulta un cuadrado (1=12)

Existen tres números de tres cifras que tienen la misma propiedad. El primero es el 119, porque 1+7+17+119=144=122 y 1+7+17=25=52

¿Cuáles son los otros dos?

viernes, 3 de diciembre de 2010

Parpadeo de un dato elegido


(No sigas leyendo si no te interesa la programación de macros en OpenOffice.org)

En algunas situaciones prácticas podemos tener una gran abundancia de datos que hagan casi imposible su exploración visual. Entre ellos pueden existir algunos cuya ubicación nos interese. Por ejemplo, un lector me indicaba que para él sería útil que se destacaran los pagos que vencieran en la fecha actual. Así, cada vez que abriera la hoja, encontraría parpadeando los que hubieran llegado a su fecha.

No es fácil conseguir que parpadeen las celdas que contengan un dato que nos interese. Por eso nos vamos a tener que basar en unos datos previos que le indiquen a la hoja de cálculo qué tiene que buscar, dónde y cuántos segundos ha de mantener el parpadeo. Con más calma quizás se pudiera prescindir de alguno de ellos, pero el tema no merece más atención.

En la imagen vemos una posible cabecera. En las celdas situadas debajo podemos imaginarnos que existen grandes cantidades de datos, y que entre ellos está el elegido. En este caso hemos usado una fecha 07/11/45 y deberán parpadear todas las celdas inferiores que la contengan.



La macro que construyamos deberá leer las celdas y asignarles una variable. Supongamos que en E6 se lee Valor, en G6 Fila, H6 Columna y J6 Pausa. Esas son las variables que usaremos en el código Basic.

Una vez leídas se inician también t0, que leerá el reloj interno (timer) e indi, que llevará la cuenta de las celdas que contienen el dato elegido. También hay que preparar memorias fil y col que nos indiquen dónde está situado el dato.

Así, la estructura de nuestra macro podría ser:

(A) Se leen las variables 

Leemos Valor, Fila, Columna y Pausa, el reloj en t0 y se pone a cero el contador de veces que aparece el dato (indi) y las memorias fil y col

pausa=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(9,5).value
valor=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(4,5).value
fila=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(6,5).value
columna=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(7,5).value
t0=timer
t1=t0
indi=0
for i=0 to 50:fil(i)=0:col(i)=0:next i


(B) Se recorren las filas y columnas. 

Cuando se encuentre el dato elegido se incrementa indi y se rellenan fil(indi) y col(indi) con la referencia de la celda.

(C) Se programa una pausa temporal. 

Se puede hacer con esta rutina:

t1=t0
while t1
‘Se realiza el trabajo de recorrer celdas y parpadear
t1=timer
wend


La hora del reloj está almacenada en t0. La otra variable t1 va leyendo el timer y cuando sobrepasa la pausa se detiene. Dentro del bucle se realiza el parpadeo.

(D) Parpadeo de las celdas elegidas

Consistirá simplemente en asignar dos colores distintos a las celdas y separarlos mediante un pequeño intervalo de tiempo:

if indi>0 then
for i=1 to indi
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(col(i),fil(i)).cellbackcolor=rgb(255,100,200)
next i
end if

‘colorea de rojo apagado

for i=1 to 1e4:next i

‘mantiene ocupado el ordenador por un tiempo

if indi>0 then
for i=1 to indi
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(col(i),fil(i)).cellbackcolor=rgb(255,255,255)
next i


‘Vuelve a colorear de blanco

Como ejercicio de programación es divertido. Seguro que alguien lo puede mejorar. 

Copiamos a continuación todo el código en Basic de OpenOffice.org

Sub parpadeo
dim pausa,valor,fila,columna,celda
dim t0,t1,i,j,k,indi
dim fil(50),col(50)

pausa=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(9,5).value
valor=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(4,5).value
fila=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(6,5).value
columna=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(7,5).value

t0=timer
t1=t0
indi=0
for i=0 to 50:fil(i)=0:col(i)=0:next i
for i=8 to fila
for j=1 to columna
celda=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(j,i).value
if celda=valor then

indi=indi+1
fil(indi)=i:col(indi)=j
end if
next j
next i
while t1

if indi>0 then
for i=1 to indi
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(col(i),fil(i)).cellbackcolor=rgb(255,100,200)
next i
end if
for i=1 to 1e4:next i
if indi>0 then
for i=1 to indi
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(col(i),fil(i)).cellbackcolor=rgb(255,255,255)
next i
end if
t1=timer
wend

End Sub

lunes, 29 de noviembre de 2010

Espiral de números enteros

A partir del número 3 se construye la siguiente sucesión de números impares

3, 5, 13, 85, 157, 12325, 12461, 106285, 276341,…

¿Cómo se ha conseguido? Si consultas en la Red puedes descubrir una definición algo complicada, que está contenida en una página muy popular. Nosotros pedimos un procedimiento más simple mediante el que se genere un 5 a partir del 3, y un 13 a partir del 5, y así el mismo procedimiento en  todos.

No es difícil de adivinar

miércoles, 24 de noviembre de 2010

Aprender comprobando

Tanto Internet como los libros de divulgación matemática están llenos de listas de números que se caracterizan por ser los únicos que cumplen algún requisito. La página http://oeis.org/A084687 nos presenta la siguiente lista como la de los números enteros positivos que son múltiplos de los números formados por sus mismas cifras ordenadas en orden creciente:

9513, 81816, 93513, 94143, 95193, 816816, 888216, 933513, 934143, 935193, 941493, 951993, 2491578, 8166816, 8868216, 9333513, 9334143, 9335193, 9341493, 9351993, 9414993, 9519993, 24915798, 49827156, 81666816, 87127446, 88668216, 93333513

Este requisito ha de cumplirse en sentido estricto:
* No pueden contener cifras nulas.
* No pueden poseer ellos mismos las cifras ya ordenadas.

El primer ejemplo de la lista es el número 9513, que no contiene cifras nulas y es múltiplo de 1359, formado por las cifras 9, 5, 1 y 3 ordenadas de forma creciente.

Los cocientes que se forman son “casi todos” iguales a 7. Investiga este hecho si quieres.

Un ejercicio muy formativo es el de obtener esa misma lista con nuestros propios instrumentos, que aquí será la hoja de cálculo. Para ello debemos organizar muy bien el proceso, y en esta tarea aprenderemos de Matemáticas y de programación mucho más de lo que nos creemos. Presentamos una organización del proceso de obtención de la lista presentada, aunque sería deseable que nuestros lectores no siguieran leyendo y pasaran a su propia organización. Así también ellos, como nosotros, aprenderían probando.

Un posible esquema sería el siguiente:

Obtención de la lista de números
* Se recorren todos los números A desde un inicio hasta un número final.
* Para cada uno se realizan estas operaciones:

  •  Calcular el número de cifras de A
  •  Extraer todas las cifras de A. Si alguna es cero se rechaza el número.
  •  Ordenar las cifras
  •  Formar con esas cifras un nuevo número B
* Si A=B se rechaza el número.
* Si A es múltiplo de B se incorpora A a la lista.
* Se pasa al siguiente número

Si te interesa la programación en Basic, puedes estudiar el siguiente código comentado para OpenOffice.org Calc:

Funciones auxiliares

Para saber si m es múltiplo de n. Devuelve 1 si lo es, y 0 si no lo es

Public function esmultiplo(m,n)
if m=int(m/n)*n then esmultiplo=1 else esmultiplo=0
end function


Para contar el número de cifras

Public function numcifras(n)
numcifras=int(log(n)/log(10))+1
end function

Extrae la cifra de orden n de un número m

Public function cifra(m,n)
dim a,b
a=10^(n-1)
b=int(m/a)-10*int(m/a/10)
cifra=b
end function

Algoritmo de búsqueda

Sub busquedas
dim n,m,i,j,k,l,a,b,fila,p,q
dim ci(12)

Lee el inicio (celda G7) y el final (celda H7)

n=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(6,6).value
m=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(7,6).value
fila=8

Recorre los numeros

for i=n to m

Extrae cifras y las ordena

Extrae cifras

k=numcifras(i)
for l=1 to k
ci(l)=cifra(i,l):if ci(l)=0 then exit sub   'no se admiten cifras nulas
next l

Las ordena

if k>=1 then

for j=1 to k-1
for p=2 to k
if ci(p-1)next p
next j

end if

Construye el número con cifras ordenadas

q=0
for j=1 to k
q=q+ci(j)*10^(j-1)
next j

‘si es múltiplo, lo presenta en columna

if esmultiplo(i,q)=1 and i<>q then
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(6,fila).value=i
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(7,fila).value=q
fila=fila+1
end if

next i

end sub


Ánimo y a estudiarlo, que contiene bastante información valiosa.

jueves, 18 de noviembre de 2010

Productos consecutivos con los mismos factores

¿Sabías que el producto  de los cinco enteros consecutivos 400*401*402*403*404 tiene los mismos factores primos que el siguiente 401*402*403*404*405? En ambos casos son (salvo multiplicidad) 2 3 5 13 31 67 101 401

Hay otros casos similares, como 120*121*122*123*124 y 121*122*123*124*125 que comparten los factores 2 3 5 11 31 41 61

No existen muchos otros casos, pero se pueden encontrar para dos, tres o cuatro factores.

¿Sabrías encontrar alguno?

Si lo piensas un poco, la clave de esta propiedad es mucho más sencilla de lo que parece. La repetición de números hace que la condición previa recaiga en uno de ellos ¿en cuál?

lunes, 15 de noviembre de 2010

Números de Ore

(Con esta entrada particimamos en el VIII Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog "Los matemáticos no son gente seria", de nuestro buen amigo Juan Martínez-Tebar)

Un número entero positivo N se llama de Ore o armónico cuando la media armónica de todos sus divisores es un número entero. Por ejemplo, es armónico 140, porque sus 12 divisores son 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 y 140 y por tanto su media armónica es
Parece muy pesado este cálculo para números grandes, pero existe una simplificación. Para ello basta observar que cada divisor d posee un complementario d’ tales que d.d’=N. Este hecho permite ir sustituyendo cada cociente del tipo 1/d por d’/N, con lo que todos los denominadores resultará iguales a N y se podrán sumar los cocientes con facilidad:

Este procedimiento es fácilmente generalizable: basta multiplicar N por su número de divisores y dividir después entre la suma de los mismos:


Representamos el número de divisores mediante d(N) y su suma por s(N). Basta observar la fórmula para poder interpretarla de otra manera: La media armónica de los divisores equivale al cociente entre el número y la media aritmética de dichos divisores.

Este cambio nos permite calcular la media armónica mediante un sencillo algoritmo: Se encuentran los divisores y se van contando y sumando hasta completar el valor de d(N) y  s(N). Si esta media es entera, el número N será armónico.

Incluimos un listado en Basic que lo logra:

Sub armonico

Input n
a=0 Inicia el contador de divisores
b=0 Inicia el sumador de divisores

for j=2 to n/2+1
if esmultiplo(n,j)  then
a=a+1 Se ha encontrado un divisor: se aumenta el contador en 1
b=b+j Se aumenta el sumador con el valor del divisor
end if
next j

a=a+2 Se añade 2 para contar también 1 y N
b=b+n+1 Se añaden al sumador 1 y N
m=i*a/b  Media armónica
if m=int(m) then msgbox(“Es armónico”) else msgbox(“No es armónico”)

end sub


La siguiente tabla se ha obtenido con la repetición de este algoritmo:

N       D        S          M
6        4        12         2
28      6        56         3
140    12      336       5
270    16      720       6
496    10      992       5
672    24      2016     8
1638  24      4368     9

Los primeros números de Ore son: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190,…¿Qué llama la atención en este listado?

Efectivamente, incluye  los números perfectos 6, 28, 496, 8128,…y otros más que no lo son. Todo número perfecto se puede demostrar que también es armónico. Esto es interesante, porque si se lograra demostrar la Conjetura de Ore de que no existen armónicos impares, también se habría logrado demostrar que tampoco hay perfectos impares.

En la tabla anterior vemos que los primeros valores de la media armónica son 2, 3, 5, 6, 5, 8, 9…En ellos hay valores repetidos como el 5 y ausentes como el 4. Según un teorema de Kanold, para cada entero positivo s existe solo un número finito de enteros positivos n tales que su media armónica sea s.

miércoles, 10 de noviembre de 2010

Nueva publicación en la colección Hojamat

Revisadas las entradas de este blog en el curso 2009-10, las resumimos en una nueva publicación (segundo tomo con el mismo título)

Números y hoja de cálculo II



Se puede descargar gratuitamente desde la dirección

http://www.lulu.com/product/tapa-blanda/n%C3%83%C2%BAmeros-y-hoja-de-c%C3%83%C2%A1lculo-ii/13568851

así como adquirirlo en formato de tapa blanda a un precio prácticamente de coste.

Con la publicación de este libro deseamos ofrecer una lectura reposada de los temas tratados, que han sido completados con notas, soluciones y códigos en Basic. Se han eliminado los que dependían en exceso de la actualidad del momento.

martes, 9 de noviembre de 2010

Claudio nos hace razonar

El blog Números de Claudio Meller nos presentó el día 2 una interesante propuesta:

La suma divide la concatenación
1+2 divide a 12          -       12/3=4
4+5 divide a 45          -       45/9=5
16+17 divide a 1617      -    1617/33=49
49+50 divide a  4950      -    4950/99=50

¿Cuáles son los siguientes números consecutivos tal que la suma de ellos divide a la concatenación de los mismos?


Aunque desde este blog le enviamos un comentario con posibles soluciones, parecía interesante aprovechar esta cuestión para recorrer un razonamiento mixto (hoja de cálculo y Álgebra) en esa búsqueda. Usamos el proceso Exploración – Conjetura – Demostración de la conjetura – Complementos, que siempre hemos recomendado en los procesos de investigación en el aula de Matemáticas.

Exploración

Al tratar de números consecutivos y dos operaciones sencillas, era atractivo organizar una búsqueda con una hoja de cálculo. Bastaba crear una tabla similar a la siguiente:

      Número     Consecutivo   Concatenación     Suma         Cociente

        164              165               164165              329            498,98
        165              166               165166              331            498,99
        166              167               166167              333            499
        167              168               167168              335            499,01
        168              169               168169              337            499,02


y esperar a que aparecieran números enteros en el cociente.

La concatenación se programó con fórmulas del tipo 10N*a+a+1, siendo N el número de cifras de a. De esta forma fueron apareciendo las soluciones 1, 4, 16, 49, 166, 499, 1666, 4999, …

Conjetura

A la vista de los resultados, parecía que las soluciones eran de dos tipos:

A1=5*10n-1 y A2=(5*10n-2)/3

Y que los cocientes siempre estaban comprendidos entre 5*10n-2 y 5*10n+1

¿Sería siempre así?

Demostración

El cociente estudiado entre concatenación y suma se puede representar por la expresión


Donde N es el número de cifras de a. Este cociente siempre está cercano al número 5*10N-1. Precisemos más.
En efecto:


Luego los cocientes no llegarán a 6, 51, 501, 5001, 50001,…

Por otra parte


Esto hace que los cocientes enteros puedan ser también del tipo 48, 49, 498, 499, …

Así que tenemos tres posibilidades, aunque la primera no ha aparecido en  la experimentación. Seguro que se puede lograr una acotación más fina.

K1=5*10N-1      K2=5*10N-1-1     K3=5*10N-1-2

Primer caso: 



Nos lleva, al despejar la incógnita a a la expresión: a=5*10N-1-1  que nos da las soluciones 4, 49, 499, 4999, 49999,…

Segundo caso
 

Despejando a tendremos



Que siempre da un resultado entero, porque 5*10N-1 es congruente módulo 3 con 2 (¿por qué?) y nos devuelve las soluciones 1, 16, 166, 1666, 16666,…

Tercer caso

Dejamos como ejercicio ver que no puede dar solución entera.


Complementos

(1) La función  K (cociente) es creciente ¿Sabrías demostrarlo? Habría que ver que lo es en los tramos de N constante y también en los saltos de N a N+1



(2) Además, tiene infinitos puntos de discontinuidad ¿dónde?

(3) Este tema se podría extender a otras bases de numeración, pero con hoja de cálculo quizás se tuvieran que organizar cifra a cifra. Ahí dejamos la idea.

domingo, 7 de noviembre de 2010

¿En cuántas sumas de cuadrados? (5 de 5)

Reflexión final

Después de redactar las últimas entradas he recordado que en mis clases de Matemáticas, al explicar los números reales, utilizábamos el Teorema de Pitágoras para representar en la recta real los irracionales cuadráticos. Así situábamos, por ejemplo, la raíz cuadrada de 10 mediante el uso de una recta graduada y un compás:

De igual forma representábamos las raíces cuadradas de 2, 13, 17, etc.

Cosa curiosa: en tantos años nadie me preguntó por la raíz de 7 ¿Cómo se representa en la recta real? ¿Qué le hubieras respondido tú?

Hay dos respuestas al menos: una es acumular triángulos rectángulos a partir de uno de hipotenusa la raíz de 2 adosándole un cateto de medida la unidad, con lo que la hipotenusa equivaldría a la raíz de 3, y así sucesivamente, mediante catetos 1 se irían generando todas la raíces en ora de espiral




Otra es acudir a una diferencia de cuadrados. En la imagen puedes ver la representación de la raíz de 7 tomada como cateto de un triángulo de hipotenusa 4 y el otro cateto 3:


Pero este método tiene un inconveniente, y es que sólo son representables con diferencias de cuadrados los números impares y los múltiplos de 4. Por tanto, el número 14 no se podría construir ni con sumas de cuadrados ni con diferencias.

¿Sabrías indicar qué otras dos construcciones geométricas sobre un triángulo rectángulo nos permitirían representar todos los irracionales cuadráticos?

Resumen de la serie de cinco entradas:

Hemos descubierto que la descomposición de un número en sumas o bien en diferencias de cuadrados clasifica a los números enteros positivos en cuatro clases. Terminamos este ciclo de entradas como lo comenzamos, con la sección 182 de las Disquisitiones arithmeticae:

 Todo número natural según Gauss se puede representar de la siguiente forma:



Donde pi son los factores del tipo 4h+3 y los qi del tipo 4h+1.

Con esa nomenclatura podemos afirmar:

(1) Si a es par y todas la bi pares (contando el 0), N se puede descomponer en suma de dos cuadrados y en diferencia de otros dos. Igualando, N=a2+b2 = m2- n2 y produce de forma indirecta soluciones a la ecuación x2+y2+z2=u2. Sería el caso del número 17 = 42+12= 92-82, que da lugar a la identidad 42+12+82= 92

(2) Si a es impar y todas la bi pares, N equivaldrá a sumas de cuadrados pero no a diferencias. Ocurre esto con el número 10 = 32+12 que no puede escribirse como diferencia de cuadrados a causa de no poder expresarse como dos factores de la misma paridad.

(3) Si a es par y alguna bi impar, admitirá una descomposición en diferencias de cuadrados pero no en sumas (de dos). Así, 15=42-12 y no se puede descomponer en suma por ser del tipo 4h+3.


(4) Por último, no admitirán ninguna descomposición similar los que presenten a impar y alguna bi impar. Es así el número 70 = 2*5*7, que a causa del 2 y el 7 no admitirá ser expresado como suma o diferencia de cuadrados.


Insistimos en la pregunta: ¿Cómo lo podríamos representar en la recta real? Es una cuestión más bien elemental.