martes, 30 de marzo de 2010

Oblongos y pitagóricos (3)

La ecuación x2+(x+1)2 =y2 se puede desarrollar de esta forma: x2+(x+1)2 =y2; 2x2+2x+1=y2; (2x+1)2 + 1 = 2y2 ; (2x+1)2 - 2y2 = -1, por lo que llamando z=2x+1 desembocamos en una ecuación de Pell con segundo miembro igual a -1

z2-2y2 = -1

Utilizamos las hojas de cálculo que presentamos en una entrada anterior

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/pell.ods para Calc
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/pell.xls para Excel

con el resultado que indica la imagen:



en la que valdrán las soluciones correspondientes a -1

Z=1; Y=1; Imposible, pues X sería negativo
Z=7; Y=5 X=3; X+1=4; Y=5
Z=41; Y=29 X=20; X+1=21;Y=29
Z=239;Y=169 X=119; X+1=120; Y=169
Z=1393;Y=985 X=696;X+1=697; Y=985

que coinciden con las propuestas en la anterior entrada dedicada a este tema.

Este método tiene el inconveniente de que depende de la precisión que tenga la hoja de cálculo en los datos con coma flotante, lo que hará que se rompa en algún momento la periodicidad de los cocientes, en este caso el 2. Por ello se puede completar con una fórmula recursiva que obtenga soluciones exactas conociendo las primeras.

En este ejemplo cada elemento de las distintas celdas cumple la fórmula

an+2 = 2an+1 + an

pero como las soluciones aparecen de forma alternada, deberemos reiterar dos veces, y nos quedará:

an+4 = 2an+3 + an+2 = 2(2an+2 + an+1)+ 2an+1 + an = 4an+2 + 4an+1+ an = 6an+2 - an

Con esta fórmula recursiva se van obteniendo las soluciones sin errores a partir de las dos primeras:

Z0 = 1; Z2 = 7; Z2 = 6*7-1 = 41; Z2 = 6*41-7 =239; …
Y0 = 1; Y2 = 5; Y4 = 6*5-1 = 29; Y6 = 6*29-5 =169; …

Pero no olvidemos que Z es una variable auxiliar Z=2X+1 y que después debemos despejar X

La siguiente lista de ternas, que coincide con la primera que propuso Girard, se ha obtenido mediante esta técnica

1 0 1
5 3 4
29 20 21
169 119 120
985 696 697
5741 4059 4060
33461 23660 23661
195025 137903 137904
1136689 803760 803761
6625109 4684659 4684660
38613965 27304196 27304197
225058681 159140519 159140520
1311738121 927538920 927538921
7645370045 5406093003 5406093004
44560482149 31509019100 31509019101
259717522849 183648021599 183648021600
1513744654945 1070379110496 1070379110497
8822750406821 6238626641379 6238626641380
51422757785981 36361380737780 36361380737781
299713796309065 211929657785303 211929657785304


Un reto: Fermat propuso una fórmula de recurrencia para generar ternas de este tipo a partir de otras similares. Dada la terna (x,x+1,y), se puede generar otra similar (x’,x’+1,y’)
mediante las fórmulas x’=2x+3y+1 y’=4x+3y+2.

¿Sabrías demostrarlo? ¿Engendra todas las ternas posibles a partir de 3,4,5?

viernes, 26 de marzo de 2010

Oblongos y pitagóricos (2)

¿Cómo organizar una búsqueda de soluciones para x2+(x+1)2 =y2 con hoja de cálculo?

Si no lo pensaste al leer la entrada anterior, ahí van dos propuestas:

Elemental

Rellena una columna con los primeros números naturales consecutivos, y en la columna de su derecha auméntalos en una unidad. Supongamos que has comenzado en las celdas B4 y C4 respectivamente. En ese caso puedes rellenar la celda D4 con la fórmula B4^2+C4^2, y en la E4 una condición que nos devuelva la palabra “Vale” si es cuadrado perfecto:

SI(D4=(ENTERO(RAÍZ(D4))^2; “Vale”;””).

Si usas Excel suprime la tilde de la palabra RAIZ. De esta forma descubriremos las soluciones, con algo de paciencia, tiempo y muchas filas de hoja de cálculo:



Con Basic

La misma idea de construir una lista para X, otra para X+1 y una tercera en la que buscamos los cuadrados perfectos se puede construir en Basic. X lo almacenamos en la variable i, X+1 en la j, y la hipotenusa en k. Una sentencia IF nos presenta las soluciones en las que k es un entero.

Con este código se buscan las soluciones para números inferiores a 1000000.

Sub busquedas
Dim i,j,k
for i=1 to 1000000
j=i+1
k=i^2+j^2
if k=Int(sqr(k))^2 then
msgbox(i)  
msgbox(j)  
msgbox(sqr(k))  
end if
next i  
End Sub

Otro día nos pondremos más serios e intentaremos un estudio algebraico. Si te quieres adelantar…

lunes, 22 de marzo de 2010

Oblongos y pitagóricos (1)

Una cuestión que ha dado juego desde los tiempos de Girard y Fermat y que permite recorrer alternativas de cálculo es la siguiente:

De todos los triángulos rectángulos de lados enteros ¿Cuáles cumplen que la diferencia entre los catetos es la unidad?

El primero que la cumple es el popular de lados 3, 4 y 5, pues la diferencia entre 3 y 4 es una unidad. ¿Habrá más? ¿Cómo abordamos el cálculo?

Casi todos los caminos nos llevan a una ecuación diofántica de segundo grado, pero hay que ver cuál y cómo resolverla. También podemos intentar una búsqueda con hoja de cálculo.

Quizás fuera prudente comenzar con esta última posibilidad. Si lo intentas descubrirás al menos estas soluciones:

3, 4 y 5
20, 21 y 29
119, 120 y 169
696, 697 y 985
4059, 4060 y 5741
23660,23661 y 33461
137903, 137904 y 195025

En la siguiente entrada propondremos la organización de una posible búsqueda por si no se te ocurre nada.

martes, 16 de marzo de 2010

Curiosidades bien fundamentadas (2)

¿Cómo demostrar esta propiedad?

32+42 = 52
102+112+122 = 132+142
212+222+232+242 = 252+262+272

Quizás deberíamos distinguir entre comprobar y demostrar.

(1) En el siguiente documento del Club Mensa http://www.mensa.es/carrollia/c63.pdf
puedes estudiar una demostración que requiere mucho cálculo algebraico, pero que al final llega, por demostración, a que el primer cuadrado debe ser el del número n(2n+1).

(2) Si recuerdas que la suma de los n primeros números cuadrados es igual n(n+1)(2n+1)/6, puedes sustituir cada miembro de la igualdad como una diferencia entre este tipo de sumas. Luego, a desarrollar paréntesis y cuadrados hasta llegar a una misma expresión algebraica en ambos. Tomamos como primer cuadrado el de n(2n+1) = 2n2+2n

La calculadora online Wiris nos puede ayudar.


y se obtiene la igualdad de resultados: 24n5+60n4+50n3+15n2+n.

(3) Lo anterior no es una demostración, sino una comprobación de que el inicio en n(2n+1) es correcto. Para demostrarlo podemos seguir basándonos en S= n(n+1)(2n+1)/6.
Si usamos como variable N el número anterior a una suma de este tipo y llamamos K al número de sumandos, se puede demostrar que (N+1)2+(N+2)2+…+(N+K)2 = 2K3+(6N+3)K2+(6N2+6N+1)K.

Si aplicamos esta fórmula por una parte a N y K (primer miembro) y por otra a N+K y K-1 (segundo miembro), al igualarlas, y simplificar mucho (¡ mucho!), llegamos a una ecuación de segundo grado de soluciones enteras, que nos exige que N=K(2K-3), que es equivalente al de n(2n+1) con un cambio de variables.

Todo lo propuesto es muy costoso de desarrollar, pero te queda la satisfacción de no tener que creértelo sólo porque esté escrito en un blog.

sábado, 13 de marzo de 2010

Curiosidades bien fundamentadas (1)

Todos los que publicamos sobre números naturales incluimos en algún momento curiosidades aritméticas. A veces no nos damos cuenta de tres hechos que influyen en la aparición de las mismas restando un poco de su importancia matemática:

(A) Algunas son meras coincidencias sin valor matemático alguno, como 2592 =2592

(B) Otras dependen del sistema de numeración empleado, como todas las que usan los conceptos de capicúa o de cifras invertidas. Por ejemplo 122=144 y 212 = 441

(C) En algunos casos no existe tal curiosidad numérica, sino que es el reflejo de una propiedad algebraica expresada de forma que se oculte su origen.

El otro día, releyendo “Los números mágicos del Dr. Matrix” de Martin Gardner, recordé la clave algebraica de esta serie de curiosidades:

32+42 = 52

102+112+122 = 132+142

212+222+232+242 = 252+262+272

Según el autor, basta tomar como primer sumando el cuadrado de n(2n+1), siendo n el número de términos del segundo miembro. Por tanto, la siguiente igualdad comenzará con el cuadrado de 4(2*4+1) = 36: 362+… + 402 = …

¿Sabrías demostrarlo algebraicamente sin trabajar demasiado? Busca algún atajo, si no, mejor lo dejas, que directamente puede resultar muy largo. Eso sí, practicarás el Álgebra hasta hartarte de ella.

En la siguiente entrada daremos unas ideas.

martes, 9 de marzo de 2010

Jugamos con Sidon y Golomb

(Con esta entrada participamos en el Segundo Carnaval de Matemáticas)

Regla de Golomb

Se le da el nombre de Regla de Golomb a un conjunto de marcas señaladas en una regla imaginaria, tal que todas las diferencias entre marcas sean distintas. Por ejemplo, estas:

Las seis marcas presentan las quince diferencias 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 17 y 19 distintas. Se llama orden de la regla al número de marcas, en este caso 6, y longitud a la mayor diferencia entre ellas, 19 en el ejemplo.

Como lo importante del tema son las diferencias, se suele hacer coincidir la primera marca con el 0. 

De esta forma, la anterior regla quedaría así:
Estas marcas poseen las mismas diferencias, pero no abarcan todas las posibles medidas. Por ejemplo, con esta regla no se podría medir una distancia (diferencia) de 6. Una regla que mida todas las longitudes posibles recibe el nombre de perfecta, y si es la más corta dentro de su orden, óptima

Por ejemplo, {0,1,4.6} forman una regla perfecta, pues se pueden medir con ellas las longitudes 1,2,3,4,5 y 6.

No profundizaremos más en este tema, porque nuestro objetivo es otro. Hay muchas páginas web que estudian este tipo de reglas.

Conjunto de Sidon

Un conjunto de números naturales se llama de Sidon cuando todas las sumas posibles entre sus elementos son distintas. Por ejemplo {3,5,8,9} produce las sumas 8,11,12,13,14 y 17. 

Se puede demostrar que un conjunto finito de Sidon es también una regla de Golomb, y a la inversa (si se prescinde del convenio de comenzar por cero). Por tanto, un conjunto finito es de Sidon si produce diferencias entre sus elementos todas distintas. Intenta demostrarlo, que no es difícil.

Muchos matemáticos han estudiado estos conjuntos, entre ellos Erdös. Una de las cuestiones que estudió fue la del número máximo de elementos que puede tener un conjunto de Sidon incluido en el conjunto {1…N}. Invitamos a nuestros lectores a encontrar alguna de las cotas que están publicadas en la Red.

En esta entrada usaremos estos dos conceptos para, en cierto sentido, jugar con ellos, y plantear una posible actividad en un aula de enseñanza secundaria. Para ello hemos preparado un pasatiempo.

Nos plantearemos estos objetivos:
  • Conjeturar el número máximo de un conjunto de Sidon (o una regla de Golomb) según una cota propuesta, mediante generaciones aleatorias de ese tipo de conjuntos.
  • Construir de forma efectiva conjuntos de Sidon con cota máxima de 25 (con una cota mayor la presentación del pasatiempo sería más incómoda).
  • Experimentar cómo cambian el orden y la longitud de una regla de Golomb según la forma progresiva de elegir los elementos.
  • Establecer competiciones y colaboraciones en un aula.

Descripción del pasatiempo

Proponemos el uso de un modelo de hoja de cálculo que puedes descargar en esta dirección:


Consta de cuatro hojas, cada una con un objetivo distinto:

Generación aleatoria

En esta hoja se generan conjuntos de Sidon de forma aleatoria. Suele encontrar rápidamente conjuntos de orden máximo, y sirve de presentación del concepto y de comprobación de que todas las diferencias son distintas.



En la imagen se han obtenido diez elementos menores que 100 (el 97 no era válido), que han producido 45 diferencias distintas. Este tipo de generaciones no prueba nada, pero ayuda a dar una idea de la magnitud del orden máximo.

Construcción manual

En la segunda hoja se puede construir un conjunto de Sidon con cota 25 (o menor, si se desea, pues basta no usar los últimos valores). El funcionamiento se explica en el modelo, pero aquí destacaremos que permite cambiar rápidamente los valores a fin de estudiar el orden y la longitud del conjunto. La generación aleatoria y la ayuda lo hacen apto para su uso por un alumnado no universitario.


La imagen representa un conjunto en el que sólo se han activado los valores 5, 9 y 12, con las casillas marcadas en rojo que representan los valores que no puede tomar el siguiente elemento. Se supone que se irían añadiendo elementos hasta un total de cinco o seis, según la habilidad con la que se elijan. También se puede intentar minimizar la longitud.

Tabla e instrucciones

El modelo se completa con una tabla de diferencias para el caso en el que se bloquee la ayuda y con unas breves instrucciones.

Uso en el aula

Este tipo de ejercicios se pueden proponer en enseñanza secundaria, en talleres de Matemáticas, prácticas de Informática o trabajos voluntarios. Sus ventajas son, entre otras:

  • Exigen concentración
  • Fomentan la práctica del cálculo mental
  • Se promueve la comprobación de conjeturas
  • Permiten gran variedad de tipos de organización de un trabajo en grupos.

Tareas posibles

  • Comprensión de los conceptos mediante el modelo aleatorio.
  • Elaboración de conjeturas de cotas de un conjunto de Sidon dentro del conjunto {1…N}
  • Construcción manual de conjuntos de orden máximo o de longitud mínima
  • Comprobación de reglas de Golomb perfectas

¿Será útil todo esto? Sólo lo sabremos si probamos a desarrollarlo. Desde aquí animamos al profesorado a “que se atreva” con ciertas cuestiones sin temor al fracaso. Bastante deteriorada está la enseñanza en algunos ámbitos como para ser conservadores. ¿Todo merece ser conservado? Creemos que no.

miércoles, 3 de marzo de 2010

Una investigación en la Red (Solución)

Solución:

Todo cuadrado centrado

se descompone en dos cuadrados consecutivos:


La figura se explica por sí misma: el cuadrado centrado de orden 4, con valor 25, se descompone en cuatro triangulares, dos iguales y los otros dos consecutivos, que recombinados forman los cuadrados de orden 3 y 4 respetivamente

Por tanto, CC4 = C4+C3 (CC: Cuadrado centrado, C: cuadrado normal), lo que nos lleva a la fórmula para los cuadrados centrados CCn = n2+(n-1)2 = 2n2 – 2n + 1.

Para demostrar que puede ser el término mayor de una terna pitagórica elevamos su fórmula al cuadrado y podemos dividirla en dos cuadrados:

(2n2 – 2n + 1)2 = 4n4 - 8n3 + 8n2 -4n + 1 = (2n2 – 2n)2 + (2n – 1)2

con lo que descubrimos que la terna tiene la estructura X, Y, Y+1, con X2 = 2y+1

En la siguiente tabla están contenidos los desarrollos de los 10 primeros cuadrados centrados. Algunas ternas son muy populares:



¿Se puede demostrar el teorema inverso: Si en una terna pitagórica la hipotenusa se diferencia en una unidad del cateto mayor, dicha hipotenusa es un número cuadrado centrado?