lunes, 29 de noviembre de 2010

Espiral de números enteros

A partir del número 3 se construye la siguiente sucesión de números impares

3, 5, 13, 85, 157, 12325, 12461, 106285, 276341,…

¿Cómo se ha conseguido? Si consultas en la Red puedes descubrir una definición algo complicada, que está contenida en una página muy popular. Nosotros pedimos un procedimiento más simple mediante el que se genere un 5 a partir del 3, y un 13 a partir del 5, y así el mismo procedimiento en  todos.

No es difícil de adivinar

miércoles, 24 de noviembre de 2010

Aprender comprobando

Tanto Internet como los libros de divulgación matemática están llenos de listas de números que se caracterizan por ser los únicos que cumplen algún requisito. La página http://oeis.org/A084687 nos presenta la siguiente lista como la de los números enteros positivos que son múltiplos de los números formados por sus mismas cifras ordenadas en orden creciente:

9513, 81816, 93513, 94143, 95193, 816816, 888216, 933513, 934143, 935193, 941493, 951993, 2491578, 8166816, 8868216, 9333513, 9334143, 9335193, 9341493, 9351993, 9414993, 9519993, 24915798, 49827156, 81666816, 87127446, 88668216, 93333513

Este requisito ha de cumplirse en sentido estricto:
* No pueden contener cifras nulas.
* No pueden poseer ellos mismos las cifras ya ordenadas.

El primer ejemplo de la lista es el número 9513, que no contiene cifras nulas y es múltiplo de 1359, formado por las cifras 9, 5, 1 y 3 ordenadas de forma creciente.

Los cocientes que se forman son “casi todos” iguales a 7. Investiga este hecho si quieres.

Un ejercicio muy formativo es el de obtener esa misma lista con nuestros propios instrumentos, que aquí será la hoja de cálculo. Para ello debemos organizar muy bien el proceso, y en esta tarea aprenderemos de Matemáticas y de programación mucho más de lo que nos creemos. Presentamos una organización del proceso de obtención de la lista presentada, aunque sería deseable que nuestros lectores no siguieran leyendo y pasaran a su propia organización. Así también ellos, como nosotros, aprenderían probando.

Un posible esquema sería el siguiente:

Obtención de la lista de números
* Se recorren todos los números A desde un inicio hasta un número final.
* Para cada uno se realizan estas operaciones:

  •  Calcular el número de cifras de A
  •  Extraer todas las cifras de A. Si alguna es cero se rechaza el número.
  •  Ordenar las cifras
  •  Formar con esas cifras un nuevo número B
* Si A=B se rechaza el número.
* Si A es múltiplo de B se incorpora A a la lista.
* Se pasa al siguiente número

Si te interesa la programación en Basic, puedes estudiar el siguiente código comentado para OpenOffice.org Calc:

Funciones auxiliares

Para saber si m es múltiplo de n. Devuelve 1 si lo es, y 0 si no lo es

Public function esmultiplo(m,n)
if m=int(m/n)*n then esmultiplo=1 else esmultiplo=0
end function


Para contar el número de cifras

Public function numcifras(n)
numcifras=int(log(n)/log(10))+1
end function

Extrae la cifra de orden n de un número m

Public function cifra(m,n)
dim a,b
a=10^(n-1)
b=int(m/a)-10*int(m/a/10)
cifra=b
end function

Algoritmo de búsqueda

Sub busquedas
dim n,m,i,j,k,l,a,b,fila,p,q
dim ci(12)

Lee el inicio (celda G7) y el final (celda H7)

n=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(6,6).value
m=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(7,6).value
fila=8

Recorre los numeros

for i=n to m

Extrae cifras y las ordena

Extrae cifras

k=numcifras(i)
for l=1 to k
ci(l)=cifra(i,l):if ci(l)=0 then exit sub   'no se admiten cifras nulas
next l

Las ordena

if k>=1 then

for j=1 to k-1
for p=2 to k
if ci(p-1)next p
next j

end if

Construye el número con cifras ordenadas

q=0
for j=1 to k
q=q+ci(j)*10^(j-1)
next j

‘si es múltiplo, lo presenta en columna

if esmultiplo(i,q)=1 and i<>q then
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(6,fila).value=i
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(7,fila).value=q
fila=fila+1
end if

next i

end sub


Ánimo y a estudiarlo, que contiene bastante información valiosa.

jueves, 18 de noviembre de 2010

Productos consecutivos con los mismos factores

¿Sabías que el producto  de los cinco enteros consecutivos 400*401*402*403*404 tiene los mismos factores primos que el siguiente 401*402*403*404*405? En ambos casos son (salvo multiplicidad) 2 3 5 13 31 67 101 401

Hay otros casos similares, como 120*121*122*123*124 y 121*122*123*124*125 que comparten los factores 2 3 5 11 31 41 61

No existen muchos otros casos, pero se pueden encontrar para dos, tres o cuatro factores.

¿Sabrías encontrar alguno?

Si lo piensas un poco, la clave de esta propiedad es mucho más sencilla de lo que parece. La repetición de números hace que la condición previa recaiga en uno de ellos ¿en cuál?

lunes, 15 de noviembre de 2010

Números de Ore

(Con esta entrada particimamos en el VIII Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog "Los matemáticos no son gente seria", de nuestro buen amigo Juan Martínez-Tebar)

Un número entero positivo N se llama de Ore o armónico cuando la media armónica de todos sus divisores es un número entero. Por ejemplo, es armónico 140, porque sus 12 divisores son 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 y 140 y por tanto su media armónica es
Parece muy pesado este cálculo para números grandes, pero existe una simplificación. Para ello basta observar que cada divisor d posee un complementario d’ tales que d.d’=N. Este hecho permite ir sustituyendo cada cociente del tipo 1/d por d’/N, con lo que todos los denominadores resultará iguales a N y se podrán sumar los cocientes con facilidad:

Este procedimiento es fácilmente generalizable: basta multiplicar N por su número de divisores y dividir después entre la suma de los mismos:


Representamos el número de divisores mediante d(N) y su suma por s(N). Basta observar la fórmula para poder interpretarla de otra manera: La media armónica de los divisores equivale al cociente entre el número y la media aritmética de dichos divisores.

Este cambio nos permite calcular la media armónica mediante un sencillo algoritmo: Se encuentran los divisores y se van contando y sumando hasta completar el valor de d(N) y  s(N). Si esta media es entera, el número N será armónico.

Incluimos un listado en Basic que lo logra:

Sub armonico

Input n
a=0 Inicia el contador de divisores
b=0 Inicia el sumador de divisores

for j=2 to n/2+1
if esmultiplo(n,j)  then
a=a+1 Se ha encontrado un divisor: se aumenta el contador en 1
b=b+j Se aumenta el sumador con el valor del divisor
end if
next j

a=a+2 Se añade 2 para contar también 1 y N
b=b+n+1 Se añaden al sumador 1 y N
m=i*a/b  Media armónica
if m=int(m) then msgbox(“Es armónico”) else msgbox(“No es armónico”)

end sub


La siguiente tabla se ha obtenido con la repetición de este algoritmo:

N       D        S          M
6        4        12         2
28      6        56         3
140    12      336       5
270    16      720       6
496    10      992       5
672    24      2016     8
1638  24      4368     9

Los primeros números de Ore son: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190,…¿Qué llama la atención en este listado?

Efectivamente, incluye  los números perfectos 6, 28, 496, 8128,…y otros más que no lo son. Todo número perfecto se puede demostrar que también es armónico. Esto es interesante, porque si se lograra demostrar la Conjetura de Ore de que no existen armónicos impares, también se habría logrado demostrar que tampoco hay perfectos impares.

En la tabla anterior vemos que los primeros valores de la media armónica son 2, 3, 5, 6, 5, 8, 9…En ellos hay valores repetidos como el 5 y ausentes como el 4. Según un teorema de Kanold, para cada entero positivo s existe solo un número finito de enteros positivos n tales que su media armónica sea s.

miércoles, 10 de noviembre de 2010

Nueva publicación en la colección Hojamat

Revisadas las entradas de este blog en el curso 2009-10, las resumimos en una nueva publicación (segundo tomo con el mismo título)

Números y hoja de cálculo II



Se puede descargar gratuitamente desde la dirección

http://www.lulu.com/product/tapa-blanda/n%C3%83%C2%BAmeros-y-hoja-de-c%C3%83%C2%A1lculo-ii/13568851

así como adquirirlo en formato de tapa blanda a un precio prácticamente de coste.

Con la publicación de este libro deseamos ofrecer una lectura reposada de los temas tratados, que han sido completados con notas, soluciones y códigos en Basic. Se han eliminado los que dependían en exceso de la actualidad del momento.

martes, 9 de noviembre de 2010

Claudio nos hace razonar

El blog Números de Claudio Meller nos presentó el día 2 una interesante propuesta:

La suma divide la concatenación
1+2 divide a 12          -       12/3=4
4+5 divide a 45          -       45/9=5
16+17 divide a 1617      -    1617/33=49
49+50 divide a  4950      -    4950/99=50

¿Cuáles son los siguientes números consecutivos tal que la suma de ellos divide a la concatenación de los mismos?


Aunque desde este blog le enviamos un comentario con posibles soluciones, parecía interesante aprovechar esta cuestión para recorrer un razonamiento mixto (hoja de cálculo y Álgebra) en esa búsqueda. Usamos el proceso Exploración – Conjetura – Demostración de la conjetura – Complementos, que siempre hemos recomendado en los procesos de investigación en el aula de Matemáticas.

Exploración

Al tratar de números consecutivos y dos operaciones sencillas, era atractivo organizar una búsqueda con una hoja de cálculo. Bastaba crear una tabla similar a la siguiente:

      Número     Consecutivo   Concatenación     Suma         Cociente

        164              165               164165              329            498,98
        165              166               165166              331            498,99
        166              167               166167              333            499
        167              168               167168              335            499,01
        168              169               168169              337            499,02


y esperar a que aparecieran números enteros en el cociente.

La concatenación se programó con fórmulas del tipo 10N*a+a+1, siendo N el número de cifras de a. De esta forma fueron apareciendo las soluciones 1, 4, 16, 49, 166, 499, 1666, 4999, …

Conjetura

A la vista de los resultados, parecía que las soluciones eran de dos tipos:

A1=5*10n-1 y A2=(5*10n-2)/3

Y que los cocientes siempre estaban comprendidos entre 5*10n-2 y 5*10n+1

¿Sería siempre así?

Demostración

El cociente estudiado entre concatenación y suma se puede representar por la expresión


Donde N es el número de cifras de a. Este cociente siempre está cercano al número 5*10N-1. Precisemos más.
En efecto:


Luego los cocientes no llegarán a 6, 51, 501, 5001, 50001,…

Por otra parte


Esto hace que los cocientes enteros puedan ser también del tipo 48, 49, 498, 499, …

Así que tenemos tres posibilidades, aunque la primera no ha aparecido en  la experimentación. Seguro que se puede lograr una acotación más fina.

K1=5*10N-1      K2=5*10N-1-1     K3=5*10N-1-2

Primer caso: 



Nos lleva, al despejar la incógnita a a la expresión: a=5*10N-1-1  que nos da las soluciones 4, 49, 499, 4999, 49999,…

Segundo caso
 

Despejando a tendremos



Que siempre da un resultado entero, porque 5*10N-1 es congruente módulo 3 con 2 (¿por qué?) y nos devuelve las soluciones 1, 16, 166, 1666, 16666,…

Tercer caso

Dejamos como ejercicio ver que no puede dar solución entera.


Complementos

(1) La función  K (cociente) es creciente ¿Sabrías demostrarlo? Habría que ver que lo es en los tramos de N constante y también en los saltos de N a N+1



(2) Además, tiene infinitos puntos de discontinuidad ¿dónde?

(3) Este tema se podría extender a otras bases de numeración, pero con hoja de cálculo quizás se tuvieran que organizar cifra a cifra. Ahí dejamos la idea.

domingo, 7 de noviembre de 2010

¿En cuántas sumas de cuadrados? (5 de 5)

Reflexión final

Después de redactar las últimas entradas he recordado que en mis clases de Matemáticas, al explicar los números reales, utilizábamos el Teorema de Pitágoras para representar en la recta real los irracionales cuadráticos. Así situábamos, por ejemplo, la raíz cuadrada de 10 mediante el uso de una recta graduada y un compás:

De igual forma representábamos las raíces cuadradas de 2, 13, 17, etc.

Cosa curiosa: en tantos años nadie me preguntó por la raíz de 7 ¿Cómo se representa en la recta real? ¿Qué le hubieras respondido tú?

Hay dos respuestas al menos: una es acumular triángulos rectángulos a partir de uno de hipotenusa la raíz de 2 adosándole un cateto de medida la unidad, con lo que la hipotenusa equivaldría a la raíz de 3, y así sucesivamente, mediante catetos 1 se irían generando todas la raíces en ora de espiral




Otra es acudir a una diferencia de cuadrados. En la imagen puedes ver la representación de la raíz de 7 tomada como cateto de un triángulo de hipotenusa 4 y el otro cateto 3:


Pero este método tiene un inconveniente, y es que sólo son representables con diferencias de cuadrados los números impares y los múltiplos de 4. Por tanto, el número 14 no se podría construir ni con sumas de cuadrados ni con diferencias.

¿Sabrías indicar qué otras dos construcciones geométricas sobre un triángulo rectángulo nos permitirían representar todos los irracionales cuadráticos?

Resumen de la serie de cinco entradas:

Hemos descubierto que la descomposición de un número en sumas o bien en diferencias de cuadrados clasifica a los números enteros positivos en cuatro clases. Terminamos este ciclo de entradas como lo comenzamos, con la sección 182 de las Disquisitiones arithmeticae:

 Todo número natural según Gauss se puede representar de la siguiente forma:



Donde pi son los factores del tipo 4h+3 y los qi del tipo 4h+1.

Con esa nomenclatura podemos afirmar:

(1) Si a es par y todas la bi pares (contando el 0), N se puede descomponer en suma de dos cuadrados y en diferencia de otros dos. Igualando, N=a2+b2 = m2- n2 y produce de forma indirecta soluciones a la ecuación x2+y2+z2=u2. Sería el caso del número 17 = 42+12= 92-82, que da lugar a la identidad 42+12+82= 92

(2) Si a es impar y todas la bi pares, N equivaldrá a sumas de cuadrados pero no a diferencias. Ocurre esto con el número 10 = 32+12 que no puede escribirse como diferencia de cuadrados a causa de no poder expresarse como dos factores de la misma paridad.

(3) Si a es par y alguna bi impar, admitirá una descomposición en diferencias de cuadrados pero no en sumas (de dos). Así, 15=42-12 y no se puede descomponer en suma por ser del tipo 4h+3.


(4) Por último, no admitirán ninguna descomposición similar los que presenten a impar y alguna bi impar. Es así el número 70 = 2*5*7, que a causa del 2 y el 7 no admitirá ser expresado como suma o diferencia de cuadrados.


Insistimos en la pregunta: ¿Cómo lo podríamos representar en la recta real? Es una cuestión más bien elemental.

jueves, 4 de noviembre de 2010

¿En cuántas sumas de cuadrados? (4 de 5)

Problema del círculo de Gauss

En la anterior entrada nos aparecía el número PI de forma algo sorprendente. En esta veremos que de sorpresa nada. Todo está relacionado, y se basa en la solución del llamado Problema del círculo de Gauss.

No entraremos demasiado en la parte teórica, que podéis consultar en las páginas


o en el Blog “Juan de Mairena”


Lo que presentaremos aquí es su tratamiento con hoja de cálculo, pero con una pequeña introducción.

En las dos entradas anteriores desarrollamos los números enteros positivos como sumas de dos cuadrados de base entera. Estamos en el terreno del Teorema de Pitágoras, y si representamos todas las soluciones para un número N dado como catetos de un triángulo, los puntos representados por ellos se situarán todos en el círculo de radio la raíz cuadrada de N.

Si con una hoja de cálculo creamos una lista de valores X e Y tales que X2+Y2 sea menor o igual que N, según lo explicado, se rellenarán puntos dentro de un círculo, lo que representará perfectamente el círculo de Gauss. 

En la imagen puedes ver el gráfico correspondiente a N=22


Para conseguir esta imagen necesitaremos el algoritmo que encuentre todas las soluciones para que X2+Y2 no sobrepase N. Una vez conseguida la lista de soluciones bastará con crear un gráfico del tipo XY para conseguir la aproximación al círculo.
Se puede usar un código en el Basic de OpenOffice.org similar al siguiente (fácilmente adaptable a Excel):

Sub desarrollo(n)
dim i,j,s,t,fi,a,b,x

fi=5
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(3,fi).value=0
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(4,fi).value=0
for x=1 to n
i=0
a=sqr(x)
while <=a
j=x-i*i
if j=int(sqr(j))^2 or j=0 then
b=sqr(j)
for s=-1 to 1 step 2
for t=-1 to 1 step 2
fi=fi+1
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(3,fi).value=i*s
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(4,fi).value=b*t
next t
next s
end if
i=i+1
wend
next x
End Sub

Puedes descargarte las versiones en Excel 2007 y OpenOffice.org 3 desde la dirección

martes, 2 de noviembre de 2010

Matemáticas antiguas

Nuestro buen colaborador Rafael Parra Machío nos envía un documento sobre las Matemáticas de Egipto y Mesopotamia. Desea compartirlo para que pueda servir como ayuda y ampliación a los temas de Teoría de Números incluidos en Hojamat.es (http://hojamat.es/parra/iniparra.htm)

Lo podéis descargar desde http://hojamat.es/parra/mat_antig.pdf

Esperamos que le saquéis todo el provecho posible.

¿En cuántas sumas de cuadrados? (3 de 5)

Aparece el número PI

En la entrada anterior se presentaba una fórmula para encontrar el número de descomposiciones distintas en suma de dos cuadrados que puede presentar un número entero positivo. Vimos dos orientaciones: buscar sólo sumandos positivos o admitir también los negativos teniendo en cuenta además el orden.

Para un resultado inesperado que obtendremos más adelante vamos a elegir la segunda opción: encontrar, dado un número entero positivo N, todos los pares x, y de números enteros tales que x2+y2=N. Al número de esos pares lo podemos considerar como función de N, lo que nos permite definir NSC(N)=Número de pares de enteros x, y tales que x2+y2=N

Para implementar esta función en la hoja de cálculo podemos usar un código similar al siguiente (comentarios en cursiva):

Public function nsc(n)
dim i,a,b,ns


if n=0 then
ns=1 Tenemos en cuenta que n puede valer 0
else
ns=0   Se inicia la suma
for i=0 to sqr(n)  Busca el primer sumando
a=n-i*I  Calcula el segundo sumando
if a=int(sqr(a))^2 then  El segundo sumando es un cuadrado
if i*i<=a then Esta línea es para no tener en cuenta el orden de los sumandos
b=sqr(a) Base del segundo cuadrado
if b>0 and i>0 and b<>i then Si ambas bases son positivas y distintas hay 8 posibilidades
ns=ns+8
else  Si una es cero o so iguales, sólo hay 4
ns=ns+4
end if
end if
end if
next i
end if
nsc=ns Se recoge el resultado
end function

Esta función, si se declara Public se puede usar en la hoja de cálculo y formar una tabla que compare N con NSC(N):

N   NSC(N)
0      1
1      4
2      4
3      0
4      4
5      8
6      0
7      0
8      4
9      4
10    8

Aunque su distribución parece ser muy irregular, nos espera una sorpresa y es que si acumulamos los resultados y vamos calculando el promedio de NSC conforme crece N, este promedio tiene como límite el número PI

En la siguiente tabla puedes observar que para N=20 ya se percibe esta tendencia al límite:



Para N=500 el promedio oscila ya de una forma clara alrededor de 3,14:



y para N=8000 su valor es 3,14213.  ¡No nos libramos del número PI!

Puedes descargarte las hojas de cálculo en las que hemos implementado la fórmula de Gauss y la función NSC que cuenta todas las sumas considerando signos y orden en la dirección

http://hojamat.es/blog/sumacuad.zip