miércoles, 21 de diciembre de 2011

El algoritmo de Moessner

(Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas 2.9, cuyo anfitrión es el blog "Que no te aburran las M@TES")



Presentamos hoy una curiosidad matemática a base de cribados: toma la lista de los primeros números naturales.
1    2    3    4    5    6    7    8    9    10   11    12    13     14

Tacha después uno de cada cuatro, comenzando con el mismo 4:
1    2    3    5    6    7    9    10    11    13   14

Después escribe la lista de sus sumas parciales.
1    3    6    11    17    24    33    43    54    67    81

Y ahora tachas de tres en tres, sumando después de nuevo.
1    3    11    17    33    43    67    81
1    4    15    32    65    108   175    256

Después tachas de dos en dos
1    15    65    175

Y sumas
1    16    81    256

El resultado es la serie de las potencias cuartas de los naturales. Recuerda que hemos comenzando tachando de cuatro en cuatro. ¿Funcionará con el tres?


Lo escribimos sin explicaciones:

1    2    4    5    7    8    10    11    13    14    16    17
1    3    7   12  19  27  37  48  61  75  91  108
1    7   19   37    61     91
1    8   27  64   125   216

Resultan los cubos. Prueba de dos en dos y obtendrás los cuadrados. ¿Funcionará esto siempre? Este algoritmo lo propuso Alfred Moessner y fue demostrada su validez para cualquier valor natural por Oskar Perron en 1951 usando la inducción matemática.

Nuestro objetivo hoy es reproducir este algoritmo con hoja de cálculo, que por cierto no es nada fácil. Contiene una verdadera trampa, que es la posible confusión entre valores y posiciones. Lo vemos:



En la celda A9 escribimos la amplitud de los saltos. En la imagen está preparado para que resulten las cuartas potencias. La hoja se encarga de ir restando una unidad hacia abajo y dejar de escribir cuando se llegue a 1. El modelo está preparado para llegar a 5, pero si lo descargas puedes ampliarlo a tu gusto.

La fila 7 contiene la serie de números naturales. Después se van repitiendo hacia abajo tres filas:

Primera: Es un artificio, pues la hoja debe buscar el elemento a tachar cada vez más lejos, y dependiendo del valor de A9. Esto lo hemos resuelto con la fórmula (usamos la contenida en C8)

=SI(ESNUMERO($A12);SI(RESIDUO(C$7-1;$A12)=0;B8+1;B8);"")

En primer lugar verifica si aún quedan saltos por dar con ESNUMERO($A12). Después encuentra el residuo del número de arriba respecto al salto y hace avanzar el contador (B8) si ese número es múltiplo del salto. Así medimos el alejamiento del elemento que debemos tachar. Observa que van aumentando los valores cada tres (representan los tres supervivientes después de tachar)

Segunda: Aquí se eligen los números entre los de arriba, saltando los que ocupan un lugar múltiplo de 3. Después, con la función DESREF se dirigen a la celda adecuada para copiar el número:

=SI(ESNUMERO($A12);DESREF(C9;-2;C8);"")

DESREF se dirige a dos filas más arriba (-2) y salta según indica el valor de arriba (C8). Como esta contiene los saltos adecuados, cada vez que cambie su valor se tacha un número. Es lo que queríamos. No es fácil de entender y cuesta encontrar el procedimiento.

Tercera: Se limita a acumular sumas, y al llegar al nivel 1 produce las potencias deseadas.
Aunque esto no pasa de una curiosidad, la construcción del algoritmo es apasionante. Este que ofrecemos no usa macros, y lo puedes descargar en dos versiones desde

hojamat.es/blog/moessner.zip

jueves, 15 de diciembre de 2011

Emparedado de cuadrados (4)

¡Que quedan flecos sueltos!

Después de tres entradas sabrás ya mucho sobre los cuadrados que rodean a un número natural. Demuéstralo:

(a)  Si A divide a B, ¿crees que la parte cuadrada de A dividirá a la de B?

(b) ¿Ocurrirá lo mismo con los menores múltiplos cuadrados?

(c) Si A divide a B y son distintos, ¿cuándo se dará que PC(A)=PC(B)?

(d) ¿Podemos relacionar de igual forma la parte libre de A con la de B?

(e) Considera el máximo común divisor de la parte cuadrada y la libre de un número natural N ¿qué podremos afirmar de él? ¿Se comportará como una función multiplicativa?

martes, 13 de diciembre de 2011

Emparedado de cuadrados (3)

En esta entrada comprobaremos la potencia del concepto de función multiplicativa. Usaremos fundamentalmente dos propiedades:

(1) Según vimos en la entrada correspondiente a las funciones multiplicativas, si  g(x) es una función multiplicativa, entonces, la función f(n) definida por


en la que el sumatorio recorre todos los divisores de n, también es multiplicativa.

(2) Debemos recordar también que la definición de una función multiplicativa basta hacerla para los factores primarios pe de un número, siendo p un factor primo y e su exponente.

Estudiaremos esas sumas que recorren todos los divisores en las funciones multiplicativas estudiadas en la entrada anterior

Suma de las partes cuadradas de los divisores de N SPC(N)


Es una función multiplicativa

Si la parte cuadrada de un número es multiplicativa, su suma a lo largo de los divisores del número también lo será. Una forma rápida de encontrar esa suma se consigue con el Buscador de Naturales, usando estas condiciones y consultando después la suma en el evaluador.  Observa cómo lo hemos conseguido para el número 252= 2*2*3*3*7












Se ha definido una búsqueda entre 1 y 252, con las condiciones DIVISOR DE 252 y EVALUAR PARTECUAD(N) y nos da un resultado de 132.

Así que la suma de esas partes cuadradas (SPC(N)) para 252 es 132.

Esta función está publicada en http://oeis.org/A068976 y ahí se dan fórmulas y desarrollos para el cálculo de la misma. Es claro que es multiplicativa y por eso la fórmula de Vladeta Jovovic que se propone en esa página sólo define la función para un factor primario pe.

La escribimos de forma algebraica aplicada a pe:

Si e es par:



Si e es impar:



¿Cómo demostrarlo? Te damos una idea.

Considera todos los divisores del número pe:

1   p   p2   p3   p4   p5   p6 … pe-1   pe


Si les aplicamos la función “parte cuadrada” PC deberemos truncar los exponentes al máximo número par que contienen.

Si e es par quedaría:

1   1   p2   p2   p4   p4   p6 … pe-2   pe   que se puede descomponer en dos sumas:

SPC(pe)=( 1 +  p2 +   p4 +   p6 … pe  )+(   1 +  p2 +   p4 +   p6 … pe-2 ) que al final desembocan en la suma propuesta

Si es impar las dos sumas serían iguales, luego

SPC(pe)=2( 1 +  p2 +   p4 +   p6 … pe-1 ) que también nos lleva a la fórmula propuesta arriba.

Aplicamos estas fórmulas a 252= 22*32*7, en el que aplicaría el caso par para el 2 y el 3 y el impar para el 7:

SPC(252)=(15/3+3/3)(80/8+8/8)(2*48/48)=6*11*2=132, como era de esperar.

Si practicas estos cálculos con otros números, tanto manualmente como con el Buscador o las fórmulas aprenderás mucho.

Suma de partes libres SPL(N)

Es también multiplicativa

Con los mismos procedimientos y propiedades podemos intentar sumar las partes libres de los divisores de un número.

Con el Buscador podemos encontrar esa suma para 1102, por ejemplo:












Las condiciones usadas son DIVISOR DE 1102 y EVALUAR N/PARTECUAD(N), ya que esa es una definición de parte libre. Recorremos los números del 1 al 1102 y el evaluador nos da una solución de 180.

En la página http://oeis.org/A069088 puedes ver la lista de los primeros valores de esta función (1, 3, 4, 4, 6, 12, 8, 6, 5, 18, 12, 16, 14, 24…) y la definición ligeramente distinta a la nuestra. Lo que no ofrece es una fórmula para la evaluación directa. La ofrecemos nosotros para pe, como en los casos anteriores:

Si e es par:



Si e es impar



La demostración también se basa en el conjunto

1   p   p2   p3   p4   p5   p6 … pe-1   pe
 
Al aplicarle la función “parte libre” PL las potencias pares se convertirán en 1 y las impares en p, por lo que la suma de las partes libres será

1+p+1+p+1+p+1+p+…. Que terminará en 1 o en p según el exponente sea par o impar. El resto de la demostración es trivial, sacando factor común el factor (1+p) hasta donde se pueda.

Aplicamos la fórmula a 2200=23*52*11: SPL(2200)=(2+1)*4/2*((5+1)*2/2+1)(11+1)*2/2=3*2*7*12=504

Lo hemos comprobado con el Buscador y coincide.

Suma de los mínimos múltiplos cuadrados de los divisores de N SMMC(N)

Otra multiplicativa

Si ahora, en lugar de N/PARTECUAD(N) usamos N*N/PARTECUAD(N) en el Buscador (¿Por qué? Revisa la propiedades vistas en las entradas anteriores ) obtendremos la suma de MMC(N)

Esta función multiplicativa la hemos publicado en OEIS, pues en la fecha de su creación permanecía inédita (ver https://oeis.org/A198286). Sus primeros valores son

1, 5, 10, 9, 26, 50, 50, 25, 19, 130, 122, 90, 170, 250, 260…

Podemos usar una fórmula similar a las anteriores. No es difícil que la puedas justificar si entendiste las primeras.

Si e es par


Si e es impar


Lo vemos con un número compuesto, el 12=22*3

En primer lugar aplicamos la definición de SMMC y para cada primo sumamos el mínimo múltiplo cuadrado de cada una de sus potencias: SMMC(12)=(1+4+4)(1+9)=9*10=90, como puedes ver en la lista general.

Ahora aplicamos la fórmula:

SMMC(22) (caso par) = 1+2((16-4)/(4-1))=1+2*4=9, que era lo esperado

SMMC(3) (caso impar) = (1+9)((9-1)/(9-1))=10*1=10, que con el 9 anterior da 90.

Proponemos una cuestión:

(a) La suma de las partes cuadradas de los divisores de un número coincide con esta suma:


¿Sabrías demostrarlo? Se consigue como en las anteriores, comenzando a considerar el conjunto 1   p   p2   p3   p4   p5   p6 … pe-1   pe

jueves, 8 de diciembre de 2011

Emparedado de cuadrados (2)

Relaciones entre los cuadrados que rodean a un número

Según lo definido en la entrada anterior, para conseguir el mínimo múltiplo cuadrado de N sólo tendremos que multiplicar N por su parte libre. En efecto, esa parte libre contiene los factores primos de N elevados al residuo de cada exponente módulo 2. Más claramente: contiene los números primos elevados a 1 si su exponente era impar. Pero si los multiplicamos por N todos esos exponentes se harán pares, con lo que hemos conseguido el MMC(N).

Lo repasamos con un ejemplo:

Sea 11400=52*23*3*19. Su parte cuadrada contendrá los factores con exponente truncado a par: PC(1140)= 52*22 = 100. Su parte libre estará formada por el resto de factores, es decir, PL(1140)=2*3*19=114. Es evidente pues que:

PC(N)*PL(N)=N   (1)

Pero si ahora volvemos a multiplicar por PL(N), todos los exponentes se harán pares y el producto se habrá convertido en MMC(N):

1140*PL(1140)= 52*23*3*19*2*3*19=52*24*32*192=1299600=MMC(11400)

Hemos razonado que

N*PL(N)=MMC(N)   (2)

Uniendo (1) con (2) llegamos a una conclusión muy elegante: N es la media geométrica entre el mayor cuadrado que lo divide y su menor múltiplo cuadrado.

Es así porque N2=PC(N)*MMC(N), según (1) y (2)

 En nuestro ejemplo 114002=100*1299600.

Como los factores del segundo miembro son cuadrados, podemos considerar sus raíces cuadradas. Así definiremos:

(a) Raíz interna de N es la raíz cuadrada de su parte cuadrada. En el ejemplo sería 10. La representaremos como RI(N). En este caso RI(11400)=10

(b) Raíz externa de N es la raíz cuadrada de su menor múltiplo cuadrado. En el caso de 11400 podríamos escribir RE(11400)=1140, que es la raíz cuadrada de MMC(11400)

Un resumen también muy elegante:

Todo número natural equivale al producto de sus dos raíces enteras, interna y externa

En efecto: 11400=10*1140

Podemos representar todo lo anterior gráficamente. Observa esta imagen:

Representa los cuadrados correspondientes al número 180=22*32*5.

El cuadrado rojo de la esquina es su parte cuadrada PC(180)= 22*32=36, que son los cuadritos que contiene. Su raíz cuadrada es RI(180)=6, que se representa por el lado del cuadrado.

La parte libre de 180 es 5. Si copiamos el cuadrado rojo cinco veces a la derecha nos resultará un rectángulo (el separado por la línea gruesa roja) de 180 cuadros, o sea, el número considerado. Esto es así porque N=PC(N)*PL(N).

Si ese rectángulo que contiene 180 cuadros lo trasladamos cinco veces hacia arriba nos resultan 900 cuadros, que es precisamente el menor múltiplo cuadrado. Esto funciona porque N*PL(N) =MMC(N). El lado de ese cuadrado, 30, será la raíz cuadrada externa de 180.

¿Qué hemos visualizado?:

  • Todo número se puede representar por un rectángulo de base su raíz externa y de altura la interna.
  • Si el interior de ese rectángulo lo descomponemos en tantos trozos iguales como indique la parte libre obtendremos la parte cuadrada.
  • Si ese rectángulo lo adosamos consigo mismo por su base tantas veces como indique la parte libre, formaremos un cuadrado que será su menor múltiplo de ese tipo.
¡Se completó el emparedado!

Y lo mejor, como todas las funciones que hemos usado son multiplicativas, dados dos números coprimos, sus esquemas de este tipo se pueden fundir en uno solo multiplicando uno a uno los datos que han intervenido: PC, PL, RI,…

Todo esto no pasa de ser un divertimento, pero te ayuda a aprender conceptos.

sábado, 3 de diciembre de 2011

Funciones multiplicativas. Emparedado de cuadrados (1)

Comentábamos en una entrada anterior los conceptos de parte cuadrada y parte libre de un número. Ahora tomaremos estos conceptos para usarlos como ejemplo de funciones multiplicativas. Antes añadiremos otra definición. Repasamos:

Parte cuadrada PC(N): Es el mayor divisor cuadrado de N (Ver http://oeis.org/A008833)

Parte libre PL(N): Equivale al cociente entre N y su parte cuadrada (http://oeis.org/A007913)

Radical RAD(N): Es el mayor divisor de N que está libre de cuadrados (http://oeis.org/A007947)

Y añadimos otra

Menor múltiplo cuadrado MMC(N): Como indica su nombre, es el menor cuadrado divisible entre N
(http://oeis.org/A053143)

Así que el número N está emparedado entre dos cuadrados.

Uno es el mayor divisor cuadrado PC(N) y el otro es el menor múltiplo de esa clase MMC(N).

Lo aclaramos con un ejemplo

Si consideramos el número 126, sus factores primos son 2*3*3*7, luego
PC(126)=9 porque es el único cuadrado que podemos formar con 2,3,3,7. El exponente de 3 es par, como cabía esperar.
PL(126)=126/9=14, que equivale al producto de 2*7, ambos elevados a 1
RAD(126)=2*3*7=42 Está formado por todos los factores primos elevados a 1.
MMC(126)=22*32*72=1764. Se consigue este número completando los exponentes de sus factores primos a un número par.

Así que, como veremos, cualquier número está comprendido entre dos cuadrados de este tipo. A continuación estudiaremos su cálculo y carácter multiplicativo, dejando para la siguiente entrada sus relaciones.

Parte cuadrada PC

Es evidente que para calcularlo bastará sustituir cada exponente de los factores primos por el mayor número par contenido en cada uno de ellos. Por ejemplo, si N=23*72*11=4312, su parte cuadrada se obtendrá truncando cada exponente al máximo número par que contiene, es decir: PC(N)= 22*72*110=196

Vimos en la primera entrada de las funciones multiplicativas que estas quedaban caracterizadas por su acción sobre los factores primarios de N. De esta forma, la definición de parte cuadrada podía quedar como



Es decir, que a cada exponente se le resta su resto al dividirlo entre 2. Por este tipo de actuación sobre factores primarios de forma independiente, multiplicando después los resultados, ya sabemos que la parte cuadrada es multiplicativa.

Intenta reproducir esta comprobación:



En ella vemos que 1617 y 2000 son coprimos y que el producto de sus partes cuadradas 49 y 400 coincide con la parte cuadrada del producto 3234000=1617*2000. Tendrás que trabajar un poquito, pero aprenderás mucho.

Parte libre

Para no alargar el tema, tan sólo destacaremos que su definición para factores primarios puede ser:

Esto quiere decir que los factores pares desaparecerán en la parte libre y que los impares se convertirán en 1. Al actuar sobre los factores primarios de forma independiente, esta función es también multiplicativa.

Te proponemos una comprobación de su carácter multiplicativo:



Repasa los cálculos y recuerda que ahora se trata de la parte libre.

Mínimo múltiplo cuadrado

Con todo lo que ya llevamos, su definición te vendrá a la mente al momento. Es esta:



Era de esperar. El número N está “emparedado” entre dos cuadrados: el que resulta de restar un 1 o un 0 a los exponentes y el que se calcula sumando ese 1 a los impares y un 0 a los pares.

Por ejemplo:

PC(2400)= =24*52=400; 2400= =25*52*3;  MMC(2400)=14400= =26*52*32

Esta función es multiplicativa por la misma razón que las anteriores.

(Continuará)

martes, 8 de noviembre de 2011

El conjunto de los divisores

Aunque el conjunto de los divisores de un número aparece en muchas cuestiones y en este blog hemos hecho bastantes referencias a él, conviene, para entender algunas cuestiones sobre funciones multiplicativas, que le demos un repaso.

Consideremos, por ejemplo, el conjunto de los divisores de 240=24*3*5:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240

Lo primero que hay que considerar es que es un conjunto finito. Eso parece una trivialidad, pero nos evita preocuparnos por sumas o productos infinitos.

Orden

Los divisores presentan un orden total respecto a su valor absoluto, y además, cada divisor d está asociado a N/d mediante una correspondencia biunívoca que invierte ese orden. Si multiplicamos en la tabla siguiente dos divisores en columna siempre nos resulta 240:

240  120   80   60   48   40   30   24   20   16   15   12   10     8    6    5    4   3     2      1
  1     2       3     4     5     6    8   10   12    15   16   20   24   30  40  48  60  80 120  240

Por tanto, d y N/d recorren el mismo conjunto con órdenes opuestos.

Como todo tipo de divisores, los de N presentan también un orden parcial respecto a la relación divisor-múltiplo. En el siguiente esquema representamos el retículo correspondiente a los divisores de 240:



No se han representado todas las relaciones, para no complicar el esquema, pero cada dos divisores tiene un elemento minimal que es su MCD y otro maximal, su MCM. Obsérvese que al recorrer el esquema de arriba abajo va aumentando el número de divisores primos de las descomposiciones factoriales.

Número

Desde las enseñanzas secundarias sabemos que si un número N se descompone en factores primos como



El número de divisores, o función Tau, viene dado por

D(N)=(1+a1 )*(1+a2 )…(1+ak )

Y el conjunto de divisores coincide con los términos del producto


Esto ya es algo sabido. Sólo hay que destacar que el número de divisores depende de la signatura prima, que es el conjunto de exponentes, y no de los factores primos.

La fórmula anterior se traduce en un producto cartesiano formado eligiendo una potencia de un factor primo cada vez. Este producto cartesiano que forman los términos de la expresión (1) es fundamental para entender más tarde cómo se comportan las funciones multiplicativas sobre el conjunto de divisores.

El conjunto de divisores de un número es uno de los mejores ejemplos que existen de concurrencia entre cuestiones combinatorias y de divisibilidad.

Divisores libres de cuadrados

Si sólo consideramos los factores libres de cuadrados obtendremos un esquema similar al del Binomio de Newton. Esto nos será muy útil para algunas funciones multiplicativas.

Los divisores libres de cuadrados poseen factores primos distintos. De esta forma, para engendrar uno de estos divisores bastará elegir algunos de los factores primos, pero una sola vez cada uno. Así desembocamos en un problema de combinaciones. Lo vemos para el caso del 240, para el que el número de factores primos distintos es 3:
  • Divisores sin ningún factor primo: El 1. Hay en total C3,0
  • Divisores con un factor: 2, 3, 5. En total C3,1
  • Con dos factores distintos: 6, 10 y 15: C3,2
  • Con tres factores: 30, es decir C3,3
Así que en total hay 8. Si recuerdas el desarrollo del binomio, esto ocurre porque C3,0+ C3,1+ C3,2+ C3,3 = 23 = 8

Generalizando:


El número de divisores libres de cuadrados en un número que posee k factores primos distintos es 2k


Esta clasificación la usaremos en una próxima entrada. Hemos recorrido los ocho números libres de cuadrados 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30.

Por tanto, el número de divisores no libres de cuadrados será:

D(N)=(1+a1 )*(1+a2 )…(1+ak )- 2k

En el caso de 240 sería: 5*2*2-8=12, que son estos: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 40, 48, 60, 80, 120, 240

Divisores del producto

Si tomamos dos números A y B primos entre sí y los multiplicamos, sus conjuntos de divisores quedarán multiplicados término a término, todos los de A con cada uno de B.

Por ejemplo, si 240, con 20 divisores, lo multiplicamos por 119=7*17, que posee 4 divisores, 1, 7, 17 y 119, resultará 28540, con estos 80 divisores:


No sólo eso, sino que cada divisor de 28540 será el producto de uno de 240 por otro de 119, como puedes ver en esta otra forma de presentar los divisores:


Esto es así porque al ser primos entre sí A y B aportan factores primos distintos sin que se mezclen los de uno con los del otro.


Por tanto, los divisores de un producto AB en el que A y B son coprimos, están formados por todos los productos posibles dd’ en los que d divide a A y d’ a B

Y con esto llegamos a donde queríamos. Es fácil ya ver lo siguiente:

Si f es multiplicativa y se define F como




Entonces F es también multiplicativa

Ya que las multiplicativas actúan por separado sobre los factores primos y hemos visto que estos se combinan totalmente en el producto.

Este teorema hace que las funciones sigma y tau sumadas a lo largo de sus divisores sean multiplicativas, pero ya volveremos sobre ello. Por ahora lo comprobaremos para la tau mediante un ejemplo:

La suma de la función Tau para el número 77 recorriendo todos sus divisores es 9, la correspondiente a 12, coprimo con 77, es 18. Si los multiplicamos resulta 77*12=924, cuya suma de Tau es 162, producto de 9 con 18.

martes, 18 de octubre de 2011

Funciones multiplicativas 1 - Definiciones

(Con esta entrada participamos en la edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas, organizado en esta ocasión por el blog La aventura de la Ciencia)

Coincidiendo con la publicación en Hojamat.es del documento Funciones especiales y carácter de Dirichlet de Rafael Parra Machío, y como producto de una feliz casualidad, pues no ha habido acuerdo previo con dicho autor, iniciamos hoy una serie de entradas que de forma espaciada y algo periódica tratarán el tema de las funciones multiplicativas a lo largo de este curso.

Este tema está muy bien tratado en muchos manuales y páginas web, entre ellas la referida más arriba. Por eso, en estas entradas no nos limitaremos a repetir el tratamiento teórico, sino que abordaremos los temas mediante esquemas, cálculos, búsquedas o curiosidades. Los lectores no deben buscar en ellas los fundamentos teóricos, porque sólo aparecerán sintetizados. Así constituyen una invitación a la profundización teórica.

Comenzamos con unas definiciones:

Funciones aritméticas

Son funciones reales o complejas definidas sobre el conjunto de los números naturales.

Por tanto, toda función aritmética admite una representación como una sucesión de números (enteros, reales, complejos…)

Por ejemplo, la sucesión siguiente (representada como una correspondencia con los naturales) representa a la función “mayor divisor propio”. En efecto, repasa la tabla y observarás que los números de abajo son los máximos divisores propios de los de arriba.







Con frecuencia usaremos esta notación u otra similar para representar funciones aritméticas.

Funciones multiplicativas

Una función aritmética es multiplicativa cuando para todo par a y b de números naturales primos entre sí se cumple que

F(a*b)=F(a)*F(b) (si  (a,b)=1, siendo (a,b) el MCD de ambos números)

Si esto se cumple aunque los números no sean coprimos, llamaremos a la función completamente multiplicativa. Por ahora no las consideraremos.

Hoy lo explicaremos con un ejemplo sencillo: la función Tau, que es la que cuenta los divisores de un número, y que por comodidad tipográfica designaremos por D(n), ya que es parte de la familia de las funciones divisor o sigmas

(ver http://hojaynumeros.blogspot.com/2011/02/la-familia-de-las-sigmas-1.html)

Así, D(15)=4, porque admite los divisores 1, 3, 5 y 15. De igual forma, D(28)=6, ya que dividen a 28 los números 1, 2, 4, 7, 14 y 28

Pues bien, como 15 y 28 son coprimos, resulta que D(15*28)=24, como puedes comprobar. Más tarde lo razonaremos en general.

A partir de ahora podremos publicar tablas de doble entrada en las que puedas practicar y hacer comprobaciones con las funciones multiplicativas. Aquí tienes la primera, dedicada a la función Tau:








En la tabla sólo aparecen los valores de los productos cuando los dos factores son primos entre sí. Se ha elegido el rango de 20 a 30 porque en el mismo disponemos de gran variedad de números: primos, semiprimos, cuadrados…


Repasa algunos valores, calcúlalos si lo deseas y comprueba el carácter multiplicativo de Tau.

Propiedades de las funciones multiplicativas

(1) Si una función es multiplicativa se dará que F(a*1)=F(a)*F(1), luego deberá ser F(1)=1

A veces esta propiedad no está clara en alguna función, porque puede que no acabe de tener mucho sentido aplicarla a la unidad. En ese caso se suele definir directamente: F(1)=1.

En nuestro ejemplo D(1)=1 porque 1 sólo tiene un divisor.

(2) Si una multiplicativa está definida para cada potencia de un primo, lo estará para todo número natural, pues aplicando la función a la factorización

 Por su carácter multiplicativo se tendrá


Puedes seguir los detalles en los documentos teóricos. En ellos también se demuestra lo siguiente, que es fundamental para manejar funciones multiplicativas:

Si una función aplicada a N actúa de igual forma e independientemente para cada factor de N del tipo pr, siendo p un factor primo de N y r su exponente (factor primario de N), y después multiplica los resultados, esa función será multiplicativa

Si recuerdas la Teoría de la Divisibilidad, la función Tau tiene un desarrollo muy sencillo, que es el producto de los exponentes en la factorización aumentados en una unidad:


D(N)=(1+a1 )*(1+a2 )…(1+ak )

Sólo por este desarrollo ya se habría adivinado que es multiplicativa.

(3) El producto de dos multiplicativas también es también multiplicativo
Consúltalo, pero con un poquito de Álgebra comprenderás esta propiedad.

(4) En esta propiedad hay que detenerse un poco, aunque no la demostraremos (busca, busca…):

Si g(x) es una función multiplicativa, entonces, la función f(n) definida por


en la que el sumatorio recorre todos los divisores de n, también es multiplicativa.

Omitiendo detalles, la base de esta propiedad está en que los divisores de un producto de dos números coprimos M y N son productos de dos divisores, uno de M y otro de N, y al final la suma de productos coincidirá con el producto de sumas. ¿Es difícil de entender? Pues busca el desarrollo en cualquier manual o página que lo explique.

Nosotros lo comprobaremos en el caso de la tau para dos números concretos. Esto no demuestra nada, pero te ayudará a crearte una idea del proceso.














Ves que arriba hemos escrito los divisores de 105 y debajo de cada uno su número de divisores. Nos dan una suma de 27. Hemos efectuado la misma operación con 22 y nos suman 9. El producto de ambos (nótese que son coprimos) es 2310, que tiene 32 divisores (era de esperar ¿no?) y sus divisores suman 243, que es precisamente el producto de 27 por 9, luego en este caso el proceso ha sido multiplicativo. Pero no generalices. Hay que demostrar las cosas.

Lo dejamos por hoy. Otros días veremos algunos ejemplos de funciones multiplicativas interesantes.

miércoles, 12 de octubre de 2011

Distancia binaria entre primos


La historia se repite

En una entrada anterior “¿Alguien sabe algo de esto?” nos planteábamos si dado un primo p cualquiera, existe otro q tal que la suma de ambos sea una potencia de 2. Después de algo de reflexión y ayudas externas llegamos a la conclusión de que esta posibilidad fallaba, quizás en el número 1871.

Al revisar la entrada para integrarla en una publicación se me ocurrió usar la diferencia entre primos en lugar de la suma: dado un número primo p, ¿existe siempre un exponente k entero tal que p+2^k sea primo? Al mínimo valor posible de este exponente le llamaremos “distancia binaria entre ambos primos” o DISTBIN.

Podíamos interpretar ese número k como el lugar donde podríamos sumar 1 a la expresión binaria de p para que se convirtiera en otro número primo, el menor posible.

Por ejemplo, el número primo 61 tiene como expresión binaria 111101 y su función distbin vale 8. Esto quiere decir que en el orden 8 de su expresión binaria hay que añadir un 1 (tomamos como 0 la primera posición): 100111101, que equivale al número primo 317.

En los primeros números primos el cálculo de distbin es sencillo:

Primo P
Distancia binaria
Primo Q
2
0
3
3
1
5
5
1
7
7
2
11
11
1
13
13
2
17
17
1
19
19
2
23
23
3
31
29
1
31
31
4
47
37
2
41
41
1
43
43
2
47
47
5
79
53
3
61
59
1
61
61
8
317

Tienes los datos de q en http://oeis.org/A139758 y los de k en http://oeis.org/A094076

Como en el caso anterior de p+q=2^n, hay primos en los que el cálculo de esta distancia desborda la capacidad de una hoja de cálculo. Destacan los siguientes:

El 773

Se tiene que distbin(773)=955, con lo que el otro primo presenta 288 dígitos:

304541062856249971261043199621099634714882089299843985214622076787904646586450815702050470808812820600790778632231520880733099058287596688955562103009770419360352428123639782183462176734064176511024987296225574339802674935168589842054573862983405175400866837597008673346307143437247316741


Imagina que su expresión binaria estará formada por un 1, más de novecientos ceros y después la expresión del 773.

El 1627

Distbin: 127 q: 85070591730234615865843651857942054491

El 2131

Bloquea las herramientas que hemos usado. En  http://oeis.org/A094076. se afirma que se ha probado el 2131 para k<30000

Si deseas practicar con el tema, te ofrecemos los códigos de búsqueda que se han usado:

Basic

Definición de DISTBIN

Function distbin(a)
Dim c, p, p2, i

c = 0
If a > 2 And esprimo Then
p = 0
p2 = 1
i = 1
Do Until esprimo(p2)
i = i * 2
p2 = a + i
p = p + 1
If esprimo(p2)  Then c = p
Loop
End If
distbin = c
End Function


Wxmáxima

Imagen del cálculo de distbin(1627)




Calculadora Wiris

Imagen del cálculo de distbin(773). En ella no entra todo el resultado.



Con ellas puedes tener una idea de los algoritmos usados. Puedes usarlos para continuar las búsquedas.

lunes, 3 de octubre de 2011

Buscador de números naturales 2.1

Este blog, según consta en su cabecera, es complementario de la página web hojamat.es. Por eso se recoge en él de forma ocasional las novedades y actualizaciones de la misma. Hoy presentamos la nueva versión del Buscador de números naturales, que es una de las herramientas que figuran desde su creación.

Puedes descargar la versión para Excel en http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/hojas/buscador_2.xlsm y para Calc en http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/hojas/buscador_2.ods


Antecedentes

El Buscador fue creado a principios de los años noventa para su uso en las clases de Matemáticas, Informática y talleres. La idea del mismo era la obtención de una lista de números naturales que cumplieran determinadas condiciones, como ser primos, divisores de otros o capicúas. La primera versión se construyó en Pascal y como programa ejecutable, pasando posteriormente al Visual Basic. La especialización del autor en hojas de cálculo hizo natural el traspaso del mismo a Excel y Calc y su publicación en Hojamat.es.




Esta versión publicada heredó todos los botones y controles de la anterior, lo que hizo un poco complicado su uso. Lo que pretende la nueva versión que presentamos es la eliminación de tantas variantes y opciones, unificando el formato de las condiciones.

Estructura

En la nueva versión sólo hay que indicar el inicio y el final de la búsqueda, así como las condiciones, que se escribirán en un lenguaje cercano al natural mediante una palabra reservada y unos parámetros. Por ejemplo, para obtener los múltiplos de 18 y de 44 de cuatro cifras que terminen en 6 bastará concretar la búsqueda como se observa en la imagen





Se han escrito las condiciones MULTIPLO 18 44 y TERMINA EN 6, concretando los límites 1000 y 9999 para encontrar cuatro soluciones: 2376, 4356, 6336 y 8316.

Las búsquedas son así de simples: Inicio, final y condiciones escritas en un lenguaje muy directo.

Algunos ejemplos


Números de Ore

Son aquellos en los que la media armónica de sus divisores es entera
(Ver http://hojaynumeros.blogspot.com/2010/11/numeros-de-ore.html).
En el Buscador basta escribir esta condición algo compleja para obtenerlos:

ES ENTERO(N*NUMDIV(N)/SUMDIV(N))

En la imagen aparece el resultado, que coincide con http://oeis.org/A001599



Esta búsqueda se lentifica bastante en Calc al llegar a 1000. En Excel va más rápida.

Comprobación de un teorema

Se sabe desde Fermat que los números primos de la forma 4k+3 no se pueden descomponer en suma de cuadrados.

Si exigimos las condiciones PRIMO, LINEAL 4 3, SUMA C C (suma de dos cuadrados) observaremos que no aparece ninguna solución:



Números de Ruth-Aaron

En ellos la suma de divisores primos de un número coincide con la suma de los del siguiente
(Ver http://hojaynumeros.blogspot.com/2011/03/parientes-de-ruth-y-aaron.html)
Se buscan también con una sola condición: ES SUMDIVPRIM(N)=SUMDIVPRIM(N+1), resultando la secuencia http://oeis.org/A006145

Limitaciones

Este modelo de hoja de cálculo está dirigido a su uso por parte de profesores y alumnos de enseñanzas secundarias y de quienes se inicien en los estudios de la Teoría de Números. No tiene nivel universitario ni la potencia de otros programas especializados en cálculos matemáticos. En concreto, presenta limitaciones en el rango de los números considerados, que está marcado por las de Excel y Calc, y una excesiva lentitud al llegar a números grandes con ciertas condiciones. Está concebido para un entretenimiento matemático sin más pretensiones.

Tratamiento de errores

No se ha realizado un control exhaustivo de los errores. Es demasiado costoso para una herramienta de estas características (y para la edad del autor, que todo cansa). Cualquier persona con cierta habilidad matemática o informática lo pondrá en apuros. Si eso ocurre, se cierra y se comienza de nuevo. Aquí no hay nada trascendente.

Tampoco es total la validación de datos. Entre Excel y Calc existen pequeñas diferencias en los tipos de datos y donde uno da un mensaje de error el otro lo admite. Así que si comenzamos a escribir decimales o números negativos pueden producirse resultados engañosos.

Documentos

Esta versión viene acompañada de dos documentos:

Guía de uso

Describe una a una las condiciones admitidas por el Buscador, con la sintaxis correcta y un ejemplo, así como las funciones usadas en el módulo interno de cálculo. Se descaga en http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/Buscador de números naturales_2.pdf

Uso en la enseñanza

Recoge, ampliadas y corregidas, las propuestas que el autor usó en clase. Son las de nivel mínimo, aunque el Buscador permite propuestas más complejas. Su dirección es http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/Buscador_2.pdf

Si el tiempo disponible lo permite, se incluirá más adelante un documento con propuestas algo más complejas, que tenga más carga teórica. También en este blog a partir de hoy podrán aparecer búsquedas realizadas con la herramienta que presentamos.

Esperamos que la nueva versión del Buscador sea más útil que la anterior. Si no, ya pensaremos en la tercera.

miércoles, 21 de septiembre de 2011

Los huecos de un primo

 (Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas Edición 2.6, organizado en esta ocasión por La vaca esférica)


Los cinco primos de Fermat conocidos, 3, 5, 17, 257 y 65537, tienen en común que su representación en el sistema de numeración binario está formada por un 1, un conjunto de ceros y al final otro 1. Son números con un gran hueco entre dos unidades. Por ejemplo el 65537 está representado por 10000000000000001. Sólo se conocen esos cinco primos con esa estructura (es fácil demostrar que los de Fermat son los únicos posibles).

¿Habrá primos con otras estructuras posibles en sus huecos entre unos?

Podíamos buscar los que estuvieran formados por dos intervalos iguales, como 100010001. ¿Habrá alguno? Sí, pero sólo se conocen tres: 7, 73 y 262657. Puedes leer algunos detalles en http://oeis.org/A051154

¿Y si buscáramos primos con estructuras similares a 1000100010001, con cuatro unos? Pues yo no lo haría. Seguro que son compuestos ¿por qué? En realidad no debes probar con ningún ejemplo que contenga un número par de unos situados de forma equidistante.

No hemos encontrado más ejemplos con un número impar de huecos similares.

Podemos renunciar a la periodicidad de los ceros. Pueden existir primos con dos unos iniciales y el resto ceros hasta el último uno. Los hemos buscado con hoja de cálculo y aparecieron 7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209,…El primero, 7, sólo presenta los unos, 111, pero los demás son espectaculares, como 206158430209 con expresión 11000000000000000000000000000000000001.
Puedes ver los siguientes en http://oeis.org/A039687

El problema inverso de encontrar estructuras del tipo 1000000011 ya está también resuelto y publicado en http://oeis.org/A057733

Podíamos buscar otros con dos unos al principio y al final, pero me temo que sería inútil ¿no?. Ahí no hay primos.

Otras estructuras

Los siguientes primos poseen sus huecos en magnitud creciente:
3                                 11
11                               1011
68990043211             1000000010000001000001000010001001011
36064050381096011 10000000001000000001000000010000001000001000010001001011


Con la estructura simétrica de conjuntos de ceros de longitud creciente de derecha a izquierda, al menos con hoja de cálculo, sólo he encontrado el 3 y el 13.

A estos otros les llamo “primos piano”:

26417           110011100110001
422657         1100111001100000001
108199937    110011100110000000000000001


Si deseas saber el porqué, mira el teclado de un piano.

Este otro es similar, con otra visión del “teclado”:
989721526273  es un primo con estos huecos:
1110011001110000000000000000000000000001
 

Y estos otros son más simétricos:

134323393       1000000000011001110011000001

137442334721  10000000000000001100111001100000000001

¿Deseas investigar otras estructuras? Puedes probar con

Números repunits (o repunos o repitunos): No tienen huecos en el sistema binario. Busca por ahí cuáles son primos, y verás qué escasez.

Números de Carol: Sólo tienen un hueco, pero bien situado. Tampoco hay muchos primos entre ellos.

Números de Thabit: Los números del tipo 3.2n-1 se llaman números de Thabit y en el sistema de numeración binario vienen representados por las cifras 1, 0 seguidas de la cifra 1 repetida hasta terminar la expresión. Por ejemplo, el número de Thabit 786431 viene representado por 10111111111111111111. Investiga por ahí cuáles son primos.

jueves, 15 de septiembre de 2011

Obtención de la lista de divisores

Algoritmo con hoja de cálculo

(Si no te interesa la programación en Basic puedes dejar de leer)

Para encontrar los divisores de un número N la búsqueda más simple consiste (salvo alguna pequeña modificación que la acelere) en recorrer todos los números menores o iguales a N y tomar nota de los que son divisores suyos. Es muy sencilla de programar y sólo ocupa unas pocas líneas de código. Tiene el inconveniente de que para números de más de cuatro o cinco cifras decimales resulta muy lenta en hoja de cálculo, que es la herramienta que usamos en este blog.

Un algoritmo más rápido consiste en reproducir en la hoja el esquema que siempre se ha usado en las clases de Matemáticas, el que desarrolla las distintas potencias del primer divisor primo y después las combina con las de los demás en una tabla bidimensional como la siguiente, que se corresponde con los divisores del número 33075=33*52*72


3        1          3          9          27
5        5        15         45        135
        25        75       225        675
7        7        21         63        189
        35      105       315        945
       175     525     1575      4725
        49     147        441      1323
       245    735      2205      6615
     1225    3675   11025    33075


En ella se han situado en la primera columna los factores primos, en la primera fila las potencias del 3 y en las demás filas los distintos productos que se pueden formar entre las potencias, sumandos formados en la fórmula



de la obtención de sigma(N).

Para poder construir este esquema en la hoja necesitamos saber qué factores primos posee el número y con qué exponentes. La siguiente subrutina en Basic nos los proporciona:

Global p(50) as long  Se definen las variables p para los factores, e los exponentes y np el número total
Global e(50) as integer
Global np%



Sub sacaprimos(a)
Dim f,i
dim vale as boolean


f=2:i=1:e(i)=0:vale=false:np=0
while f<=a  El bucle while_wend divide el número entre el factor todas las veces posibles
if esprimo(f) then
while a/f=int(a/f)  Es divisor primo
vale=true
p(i)=f
e(i)=e(i)+1  aumenta el exponente
a=a/f
wend
if vale then
np=np+1  aumenta el número de factores
i=i+1:e(i)=0 se inicia un nuevo exponente
end if
vale=false
end if
f=f+1 buscamos otro factor primo
wend
End sub

Con este código obtenemos la lista de factores primos p(i), la de exponentes e(i) y el número total de factores primos np.

Al usar estos datos la búsqueda de divisores se simplifica mucho, pues todo el trabajo consistirá ahora en construir la tabla que estudiamos en nuestros años escolares:

(a) Formamos una fila con las potencias posibles del primer factor primo. Tomamos nota de que la altura de la tabla es de 1. También recogeremos el dato de la variable fila en la que se han escrito.

(b) Vamos multiplicando esas potencias de la primera fila por todas las de los otros primos, pero teniendo cuidado de:

* En cada nuevo primo la altura queda multiplicada por e(i)+1, que es el número de sus potencias posibles.

* En cada nuevo producto deberemos incrementar la variable fila en una unidad, para que se vaya formando la tabla hacia abajo.

* Deberemos usar muchos bucles anidados, porque intervienen as variables del número de potencias de la primera fila, el de las del resto de primos y las del número de primos diferentes.

Un posible código en OpenOffice sería:

sub todosdivisores


dim i,j,k,l, altura,fila
dim divi as long


Rellena la primera fila con las potencias del primer primo
if np>=1 then
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(1).GetCellByPosition(2,11).value=p(1)
for k=0 to e(1)
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(1).GetCellByPosition(3+k,11).value=p(1)^k
next k
end if


Va multiplicando las potencias de los demás primos
if np>=2 then
altura=1:fila=12
for k=2 to np  Este bucle recorre los primos
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(1).GetCellByPosition(2,fila).value=p(k)
for j=1 to e(k)  Recorre las potencias del primo actual
for i=1 to altura Recorre todos los divisores anteriores
for l=0 to e(1)  Ídem los elementos de cada fila
divi=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(1).GetCellByPosition(3+l,10+i).value
divi=divi*p(k)^j  Efectúa el producto y lo escribe
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(1).GetCellByPosition(3+l,fila).value=divi
next l
fila=fila+1  Una vez escritos, aumenta la fila
next i
next j
altura=altura*(e(k)+1)  La altura se amplía
next k
end if
end sub

Pues ya tienes una idea. El resto es cosa tuya. Seguro que la mejoras.

sábado, 3 de septiembre de 2011

Baldosas, pasos y farolas

Después del descanso veraniego, iniciamos el cuarto curso de este blog. Un saludo afectuoso a quienes nos siguen.

Comenzamos con unas ideas para el aula

Como casi todos los profesores de Matemáticas de mi generación he intentado en clase la estimación de distancias, alturas o tiempos, a veces terminada con un aleccionador fracaso. Lo sabréis si habéis intentado medir alturas con medidores de ángulos o sombras. Creo que es una actividad muy educativa, especialmente si no se usan instrumentos de precisión, sino medidas de nuestro propio cuerpo (pasos, pies, manos,..), elementos repetidos (baldosas, vagones de un tren, farolas,…) o representaciones a escala, como los mapas de Google.

Para garantizarnos un resultado honorable y una buena práctica de medición creo que tenemos que contar con al menos estos elementos:

* Repetición de elementos razonablemente iguales (como medir por pies) y, a ser posible, pertenecientes a conjuntos distintos. Así se realizan varias mediciones.
* Un elemento al menos cuya medida real sea fiable: longitud de una baldosa, distancia entre dos bancos de un paseo, altura de un piso…
* Uso de fracciones comparativas entre medidas. Lo que desde la antigüedad hemos llamado “razón entre dos magnitudes”.
* Uso, si es posible, de la media aritmética entre estimaciones.

Ilustro estas ideas con un ejemplo que me sirvió de ejercicio y entretenimiento en mis últimas vacaciones.

Pasé unos días junto a las Salinas de San Pedro del Pinatar (Murcia, España). Un paseo muy popular es el que une dos molinos salineros abandonados, que tiene una longitud aproximada de tres kilómetros. Comienza siendo un paseo urbano (tramo A), frecuentado por quienes se aplican la terapia de los barros de las salinas, y termina como una senda ecológica (tramo B) que va a desembocar al mar abierto.








Como lo recorría con frecuencia, me planteé efectuar una estimación de la distancia total entre los dos molinos usando sólo los elementos propios de un paseo y los de la misma ruta. Para ello contaba con lo siguiente:

Pasos

La parte urbanizada del camino, quizás para estimular a las personas de cierta edad que lo usan, contiene en el pavimento la referencia a la distancia recorrida de 50 en 50 metros. Al final de esta primera parte A figura la distancia de 1182 m. Esa era la parte “fiable” de mi estimación.

Medí los pasos que tenía que dar para recorrer 50 m. Repetí varias veces esa medida contando mentalmente y me resultó una media aproximada de 60 pasos por cada 50 metros. Ya tenía un primer elemento repetitivo razonablemente conocido. Conté los pasos del segundo tramo, con la idea de multiplicarlos por la razón 50/60=5/6. No es fácil contar tantos pasos (intentadlo y veréis) y al final sólo sabía que serían unos 1850, pero con poca seguridad. Esto me daba una primera estimación: 1850*5/6= 1542 metros.

Postes

Al segundo día me di cuenta de que existían unos pequeños postes, de unos 40 cm. de altura, aparentemente equidistantes. Los medí por pasos varias veces y así confirmé que lo eran. Los conté y la parte A contenía 76 y la parte B, cuya distancia deseaba estimar, 102. Ya tenía mi segunda razón fiable: 102/76 = 51/38



Mi siguiente estimación sería 1182*51/38 = 1586 metros. Me quedaba la sospecha de que en el tramo B la distancia entre postes fuera algo menor, porque el número de pasos se acercaba en él a 19 y en el A a 20, pero no estaba seguro.

Minutos

Como sospechaba que los postes podían presentar diferencias en sus distancias mutuas, cronometré varias veces mi paseo por los dos tramos, obteniendo 17 minutos para el tramo B  y 13 para la distancia conocida 1182 m., o algo más conservando la proporción. Fue una buena noticia para mí, pues confirmó mi buen estado de forma en esos días. Así que mi segunda razón podía ser 17/13 y la estimación 1182*17/13 = 1545.

Google

Sólo me quedaba acudir a un mapa en Internet. Me costó trabajo, pues no se veía bien la transición entre los dos tramos. Imprimí el mapa, pero la diferencia con las otras estimaciones era demasiado grande. Recordé entonces que el paseo urbanizado terminaba en una especie de semicírculo. Amplié la visión lo más posible hasta que apareció, cuidando después de identificar los accidentes del terreno cuando alejé el zoom para imprimir. Medí con una regla de dibujo en el mapa impreso y me resultó la razón 103/82   estimando con ella una distancia de 1182*103/82=1484

Resumiendo, la distancia total podría ser:

Pasos: 1182+1542 = 2724 m.
Postes: 1182+1586 = 2768 m.
Minutos: 1182+1545=2727 m.
Google: 1182+1484=2666 m.

Antes de encontrar la media quise criticar cada método:

* Contar pasos es cansado y desalentador, sujeto por tanto a olvidos y saltos en la cuenta.
* Los postes parecían estar más cercanos en el segundo tramo.
* Conté minutos, y no segundos, lo que disminuye la precisión.
* En el mapa no se veía bien la transición y tampoco el final de los postes respecto al segundo molino. Me pareció la menos fiable.

Así que mi estimación media fue de 2721 m. Unos días después de este juego, vi un cartel no muy visible al principio del paseo y en él se afirmaba que la distancia entre los dos molinos era de 2,7 km. ¡Pues no estuvo mal!

Ideas para el aula

Se pueden efectuar mediciones semejantes combinando varios conjuntos repetitivos:

  • Ancho de un andén de ferrocarril contando baldosas, pasos, vagones o carteles publicitarios. Como elemento fiable se puede usar una baldosa medida con una regla de dibujo.
  • Tramo de una calle mediante pasos, farolas, coches aparcados (asignando unos cuatro o cinco metros por coche). El elemento fiable podrá ser la distancia entre dos farolas medida con una cinta métrica.
  • Avenida de un paseo, usando pasos, bancos, distancia entre árboles, etc. Aquí el único elemento fiable sería el de los pasos.

Pues nada, a intentarlo y divertirse con ello. No todo van a ser fórmulas y ecuaciones. Y siempre por equipos.