Comenzamos con unas ideas para el aula
Como casi todos los profesores de Matemáticas de mi generación he intentado en clase la estimación de distancias, alturas o tiempos, a veces terminada con un aleccionador fracaso. Lo sabréis si habéis intentado medir alturas con medidores de ángulos o sombras. Creo que es una actividad muy educativa, especialmente si no se usan instrumentos de precisión, sino medidas de nuestro propio cuerpo (pasos, pies, manos,..), elementos repetidos (baldosas, vagones de un tren, farolas,…) o representaciones a escala, como los mapas de Google.
Para garantizarnos un resultado honorable y una buena práctica de medición creo que tenemos que contar con al menos estos elementos:
* Repetición de elementos razonablemente iguales (como medir por pies) y, a ser posible, pertenecientes a conjuntos distintos. Así se realizan varias mediciones.
* Un elemento al menos cuya medida real sea fiable: longitud de una baldosa, distancia entre dos bancos de un paseo, altura de un piso…
* Uso de fracciones comparativas entre medidas. Lo que desde la antigüedad hemos llamado “razón entre dos magnitudes”.
* Uso, si es posible, de la media aritmética entre estimaciones.
Ilustro estas ideas con un ejemplo que me sirvió de ejercicio y entretenimiento en mis últimas vacaciones.
Pasé unos días junto a las Salinas de San Pedro del Pinatar (Murcia, España). Un paseo muy popular es el que une dos molinos salineros abandonados, que tiene una longitud aproximada de tres kilómetros. Comienza siendo un paseo urbano (tramo A), frecuentado por quienes se aplican la terapia de los barros de las salinas, y termina como una senda ecológica (tramo B) que va a desembocar al mar abierto.
Como lo recorría con frecuencia, me planteé efectuar una estimación de la distancia total entre los dos molinos usando sólo los elementos propios de un paseo y los de la misma ruta. Para ello contaba con lo siguiente:
Pasos
La parte urbanizada del camino, quizás para estimular a las personas de cierta edad que lo usan, contiene en el pavimento la referencia a la distancia recorrida de 50 en 50 metros. Al final de esta primera parte A figura la distancia de 1182 m. Esa era la parte “fiable” de mi estimación.
Medí los pasos que tenía que dar para recorrer 50 m. Repetí varias veces esa medida contando mentalmente y me resultó una media aproximada de 60 pasos por cada 50 metros. Ya tenía un primer elemento repetitivo razonablemente conocido. Conté los pasos del segundo tramo, con la idea de multiplicarlos por la razón 50/60=5/6. No es fácil contar tantos pasos (intentadlo y veréis) y al final sólo sabía que serían unos 1850, pero con poca seguridad. Esto me daba una primera estimación: 1850*5/6= 1542 metros.
Postes
Al segundo día me di cuenta de que existían unos pequeños postes, de unos 40 cm. de altura, aparentemente equidistantes. Los medí por pasos varias veces y así confirmé que lo eran. Los conté y la parte A contenía 76 y la parte B, cuya distancia deseaba estimar, 102. Ya tenía mi segunda razón fiable: 102/76 = 51/38
Mi siguiente estimación sería 1182*51/38 = 1586 metros. Me quedaba la sospecha de que en el tramo B la distancia entre postes fuera algo menor, porque el número de pasos se acercaba en él a 19 y en el A a 20, pero no estaba seguro.
Minutos
Como sospechaba que los postes podían presentar diferencias en sus distancias mutuas, cronometré varias veces mi paseo por los dos tramos, obteniendo 17 minutos para el tramo B y 13 para la distancia conocida 1182 m., o algo más conservando la proporción. Fue una buena noticia para mí, pues confirmó mi buen estado de forma en esos días. Así que mi segunda razón podía ser 17/13 y la estimación 1182*17/13 = 1545.
Sólo me quedaba acudir a un mapa en Internet. Me costó trabajo, pues no se veía bien la transición entre los dos tramos. Imprimí el mapa, pero la diferencia con las otras estimaciones era demasiado grande. Recordé entonces que el paseo urbanizado terminaba en una especie de semicírculo. Amplié la visión lo más posible hasta que apareció, cuidando después de identificar los accidentes del terreno cuando alejé el zoom para imprimir. Medí con una regla de dibujo en el mapa impreso y me resultó la razón 103/82 estimando con ella una distancia de 1182*103/82=1484
Resumiendo, la distancia total podría ser:
Pasos: 1182+1542 = 2724 m.
Postes: 1182+1586 = 2768 m.
Minutos: 1182+1545=2727 m.
Google: 1182+1484=2666 m.
Antes de encontrar la media quise criticar cada método:
* Contar pasos es cansado y desalentador, sujeto por tanto a olvidos y saltos en la cuenta.
* Los postes parecían estar más cercanos en el segundo tramo.
* Conté minutos, y no segundos, lo que disminuye la precisión.
* En el mapa no se veía bien la transición y tampoco el final de los postes respecto al segundo molino. Me pareció la menos fiable.
Así que mi estimación media fue de 2721 m. Unos días después de este juego, vi un cartel no muy visible al principio del paseo y en él se afirmaba que la distancia entre los dos molinos era de 2,7 km. ¡Pues no estuvo mal!
Ideas para el aula
Se pueden efectuar mediciones semejantes combinando varios conjuntos repetitivos:
- Ancho de un andén de ferrocarril contando baldosas, pasos, vagones o carteles publicitarios. Como elemento fiable se puede usar una baldosa medida con una regla de dibujo.
- Tramo de una calle mediante pasos, farolas, coches aparcados (asignando unos cuatro o cinco metros por coche). El elemento fiable podrá ser la distancia entre dos farolas medida con una cinta métrica.
- Avenida de un paseo, usando pasos, bancos, distancia entre árboles, etc. Aquí el único elemento fiable sería el de los pasos.
Pues nada, a intentarlo y divertirse con ello. No todo van a ser fórmulas y ecuaciones. Y siempre por equipos.
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