lunes, 21 de enero de 2013

Pandigitales, cromos y un poco de Benford (1)


Esta es la primera parte de nuestra participación en el  Carnaval de MatemáticasEdición 3.1415926535, cuyo anfitrión es La Aventura de la Ciencia. El proximo día 27 publicaremos la segunda parte. 

Hace unas semanas conocí esta conjetura:

El número 168 es el mayor N que cumple que la potencia 2^N no contiene todas las cifras del 0 al 9

http://www.johndcook.com/blog/2012/11/23/digits-in-powers-of-2/comment-page-1/#comment-316640

Es decir, a partir de 2^169 todas las potencias de 2 son pandigitales en sentido amplio, pues contienen todas las cifras, pero repetidas (usualmente se exige que los pandigitales presenten cada cifra una sola vez).

2^168 = 374144419156711147060143317175368453031918731001856
(le falta la cifra 2)

2^169 = 748288838313422294120286634350736906063837462003712
2^170 = 1496577676626844588240573268701473812127674924007424
2^171 = 2993155353253689176481146537402947624255349848014848
2^172 = 5986310706507378352962293074805895248510699696029696
2^173 = 11972621413014756705924586149611790497021399392059392
(todos contienen las cifras 0 al 9)

Esta conjetura también está publicada en http://oeis.org/A130696

Comienzo de los pandigitales

Nos podíamos preguntar qué ocurre con las demás bases y sus potencias. Hemos trabajado un poco con la hoja de cálculo y llegado a esta tabla, en la que figuran las siguientes bases (no múltiplos de 10, que serían casi triviales) y los exponentes hasta donde llega la carencia de alguna de las cifras en sus potencias



Esta tabla “huele” a inverso de un logaritmo. En efecto, si en lugar del tope en el que se acaban las potencias no pandigitales (con repetición) nos fijamos en las cifras de esas potencias llegamos a una cierta uniformidad, especialmente en las primeras:



Para que una potencia alcance un número de cifras se deberá cumplir de forma aproximada esta igualdad:


B es la base dada, T el tope no pandigital y C el número de cifras a partir del cual están representadas todas las posibles. Si tomamos este número de cifras en un promedio de 50, por ejemplo, nos daría una aproximación del tope:

El logaritmo es decimal, evidentemente. Si aplicáramos esta fórmula obtendríamos:



Resulta coherente con los cálculos, luego lo importante es el número de cifras. El tope es una consecuencia de ellas.

Esto no funciona como algo aleatorio

Este problema, si tuviera una base aleatoria se parecería al de completar una colección de cromos. Aquí la colección completa sería el conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} y los “cromos” se incorporarían uno a uno a la colección. Cuando aparezcan todos la colección estará completa, pero se habrán producido repeticiones.

En este blog estudiamos dichas colecciones de sobre en sobre, lo que no es este caso.

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/05/este-cromo-lo-tengo-repe-1.html
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/05/este-cromo-lo-tengo-repe-2.html

En otras direcciones puedes consultar una fórmula sencilla para cuando se incorporan a la colección los cromos de uno en uno, caso más parecido al que nos ocupa.

http://www.cienciaonline.com/2012/07/25/%C2%BFpor-que-nunca-complete-mi-coleccion-de-cromos/
http://www-eio.upc.es/~delicado/docencia/Daniel_Alcaide/Documento/PFC.pdf

En ellas puedes estudiar una fórmula que te da el total de cromos T que has de comprar para completar una colección de N



En el caso de diez cifras T=29,29

En nuestro ejemplo hemos necesitado más, unos 50. Es claro. Estamos comparando como mera diversión dos conceptos diferentes:
  •  Los cromos aparecen de forma aleatoria y las cifras de las potencias constituyen un cálculo exacto, determinista.
  •  En los cromos cada  vez que sale uno ya lo tenemos definitivo y aquí en cada potencia hay que volver a empezar. Esto, en parte, justifica la discrepancia entre 29 y 50.
  •  Aquí existe una relación clara de causalidad entre las cifras de 2N y las de 2N+1

Acabamos de afirmar que estudiamos un fenómeno determinista, pero si la distribución de cifras fuera muy uniforme, sus resultados se acercarían a los aleatorios. Cuidado: no confundas aleatorio con uniforme. Sólo afirmamos que los resultados serían más parecidos.

¿Cómo se comportan las potencias respecto a la frecuencia de las distintas cifras? ¿Qué grado de uniformidad presentan? Lo vemos en la siguiente entrada.