sábado, 25 de mayo de 2013

Retículos en el conjunto de divisores (2)

Esta entrada es la segunda parte de nuestra participación en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matemáticas Interactivas y Manipulativas.

Estudiamos en la entrada anterior el retículo de los divisores de N. Ahora buscaremos subretículos del mismo.

El retículo de los libres de cuadrados

Lo presentaremos con un ejemplo. Imaginemos todos los divisores de 1800 que son libres de cuadrados, es decir, que sus factores primos están todos elevados a la unidad. Es claro que cualquier divisor de ellos lo será también del radical de de 1800, que es 30 (contiene los mismos factores primos, pero elevados a la unidad). Por tanto, esto nos remite al caso general: es retículo el conjunto de divisores de un número libre de cuadrados (ver entrada anterior).

En el caso de 1800 son estos: {30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, 1} Todos presentan los primos 2, 3 o 5 elevados a la unidad. El mayor, 30, es el radical de 1800. Como es libre de cuadrados, sus divisores formarán un retículo.



La imagen te lo explica perfectamente. Cada par de elementos tiene un supremo y un ínfimo. Todo el conjunto posee un máximo, que es 30 y un mínimo 1.

En este retículo todo elemento a posee un complemento a’, formado por los factores primos que no son divisores de a. Es claro que el supremo de a y a’ es 30 y el ínfimo 1. Por tener esta propiedad este retículo es complementado.

Hemos descubierto que en el conjunto de divisores de un número cualquiera, los libres de cuadrados forman un subretículo, que coincide con los divisores del radical de N. Este retículo es complementado.

Por ejemplo, en el número 4900, el subretículo de los libres de cuadrados está formado por el conjunto {70, 35, 14, 10, 7, 5, 2, 1 }

¿Qué ocurre con los que no son libres de cuadrados?

Un divisor no libre de cuadrados admite a su vez otro divisor suyo que sí lo sea. 90 no está libre de cuadrados, pues equivale a 2*32*5, pero admite como divisor el 15 que sí es libre de cuadrados. Es un conjunto que no es sub_semirretículo para la relación de ser divisor. En el caso de 1800 es este: {1800, 900, 600, 450, 360, 300, 225, 200, 180, 150, 120, 100, 90, 75, 72, 60, 50, 45, 40, 36, 25, 24, 20, 18,  12,  9, 8,   4}

Si cambiamos la relación de “ser divisor” por la de “ser múltiplo”, la idea se invierte: Cualquier múltiplo de un divisor no libre de cuadrados tampoco lo será, y lo convierte en un sup_semirretículo para la relación de “ser divisor”. Así que en el conjunto de los divisores no libres de cuadrados todo par de ellos posee un supremo que pertenece al conjunto, pero quizás no exista el ínfimo. Con un ejemplo lo verás: 1800=MCM(450,24) es el supremo de ambos, y está en el conjunto. Sin embargo 6=MCD(450,24) no lo está.

Caso de los pares e impares

Con los divisores pares e impares de un número ocurre algo parecido. Lo resumimos rápidamente:

Los divisores de un número impar han de ser también impares
Los múltiplos de un número par han de ser pares.

Así que si clasificamos los divisores de un número en pares e impares, veremos que ambos conjuntos serán un retículo. Observa el caso de 840:

Pares: {840, 420, 280, 210, 168, 140, 120, 84, 70, 60, 56, 42, 40, 30, 28, 24, 20, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2}
Impares:{105, 35, 21, 15, 7, 5, 3, 1}

En efecto, los impares forman retículo, porque 105 es el mayor divisor impar, (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/12/volvemos-visitar-al-mayor-divisor-impar.html) obtenido eliminando del 840 todas las potencias de 2 y quedándonos con todos los factores impares de 840. Por tanto, los demás divisores impares lo serán también de 105, y es fácil ver que forman un sup_semirretículo.

Hacia abajo es mucho más fácil razonarlo: todo divisor de un impar es también impar, lo que nos lleva a que sea un sub_semirretículo, y por tanto, un retículo. Esto es válido para cualquier número que no sea potencia de 2, ya que entonces el conjunto de divisores impares se reduciría a 1.

Los pares también forman retículo. Sólo se pueden considerar si N es par, como es evidente. El MCD de dos pares también será par, con un ínfimo en el 2. El MCM también lo será con mayor razón, con supremo N, que hemos supuesto que es par. También forman retículo.

Si el mayor divisor par propio, o el mayor divisor impar propio son libres de cuadrados, sus retículos correspondientes serán complementados. Un ejemplo de este tipo, el factorial de 5, 120, es libre de cuadrados, luego también lo serán su mayor divisor par 60 y el mayor impar 15, que dan lugar a los retículos {120, 60, 40, 30, 24, 20, 12, 10, 8, 6, 4, 2} y {15, 5, 3, 1} respectivamente.

Te puedes distraer buscando el complemento de cada uno de los elementos, tanto en los subretículos como en el retículo total.

Múltiplos de uno de los factores primos

Considera los divisores de N que son múltiplos de uno de los factores primos. Por ejemplo, en el conjunto de divisores de 3850: {3850, 1925, 770, 550, 385, 350, 275, 175, 154, 110, 77, 70, 55, 50, 35, 25, 22, 14, 11, 10, 7, 5, 2, 1} podemos seleccionar los que son múltiplos de 11: {3850, 1925, 770, 550, 385, 275, 154, 110, 77, 55, 22, 11}. Es un retículo, porque si 11 divide a dos elementos del conjunto, también divide a su MCD, luego éste también pertenece al conjunto. Su MCM también será múltiplo de 11 y divisor de 3850, luego será también elemento del conjunto. Su máximo es el número N, 3850, y el mínimo 11.

¿Qué ocurre con los que no son múltiplos de ese factor primo?

En el ejemplo serían {350, 175, 70, 50, 35, 25, 14, 10, 7, 5, 2, 1}, pero esos son los divisores de 350, que forman retículo (razónalo) y coinciden en número con los del anterior. Es más, podemos establecer una correspondencia biyectiva entre los múltiplos de 11 y los que no lo son:

3850   350
1925   175
770      70
550      50
385      35
275      25
154      14
110      10
77          7
55          5
22          2
11          1

En este diagrama, al que hemos suprimido líneas, se ve bien la correspondencia:



En realidad, estamos ante un isomorfismo de retículos, porque cualquier MCD o MCM del primero, al multiplicar por 11 se convierte en el MCD o MCM en el segundo. Razónalo.

Esto ha sido casual, porque hemos elegido 11, que está elevado a la unidad. Retrocede al caso de pares e impares que estudiamos antes y comprobarás que no se da ese isomorfismo.

¿Se dará siempre que el factor primo esté elevado a la unidad? 

Lo vemos:

Si el numero N contiene a p con exponente 1 en su descomposición en factores primos, sus divisores se dividirán en dos subconjuntos, A, los que contienen a p, es decir tienen la forma p*q, y B, los que no lo contienen. Pero si piensas un momento el factor q que hemos usado, recorrerá B mientras p*q recorre A.

En este caso se da un isomorfismo entre los divisores múltiplos de p y los que no lo son. La expresión e este isomorfismo es F(x)=p*x, con x elemento de A y F(x) elemento de B
Así que el caso de 3850 no era una excepción.

Caso en el que el factor primo está elevado a un exponente mayor

Lo intentamos con los múltiplos de 5 en ese mismo ejemplo del 3850:
{3850, 1925, 770, 550, 385, 350, 275, 175, 110, 70, 55, 50, 35, 25, 10,  5}
Y los que no lo son
{154, 77, 70, 22, 14, 11, 7, 2, 1}

Vemos que hay la mitad de elementos, porque 5 está al cuadrado. Si eligiéramos el conjunto de los múltiplos de 25 y el de los de 5 que no lo son de 25 nos resultarían tres conjuntos con el mismo cardinal

No múltiplos de 5: {154, 77, 70, 22, 14, 11, 7, 2, 1}
Múltiplos de 5 pero no de 25: {770,  385, 110, 70, 55, 35,  10,  5}
Múltiplos de 25: {3850, 1925, 550, 350, 275, 175, 50, 25}

Es fácil ver que los tres son retículos isomorfos. Intenta una generalización.

Múltiplos de cualquier divisor dado

¿Formarán también retículo los múltiplos de un divisor dado? Un ejemplo: entre los divisores de 600 seleccionar los que son múltiplos de 15

Todos los divisores de 600 son: {600, 300, 200, 150, 120, 100, 75, 60, 50, 40, 30, 25, 24, 20, 15, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2, 1}

Los que son múltiplos de 15:{600, 300, 150, 120, 75, 60, 30, 15} y los que no lo son
{200, 100, 50, 40, 25, 24, 20, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2, 1}

Es claro que en el primero el MCD y el MCM de dos múltiplos de 15 también lo es. El segundo no es retículo, porque no contiene el MCM(3,5)=15.

Los múltiplos de cualquier divisor de N constituyen un retículo, pero los que no lo son no tienen que serlo.