Continuamos el tema desarrollado en las dos últimas entradas.
El conjunto que estamos tratando, el de los pares de números consecutivos ambos con parte cuadrada no trivial, está contenido en http://oeis.org/A068781, y en los comentarios incluidos en ella se indican brevemente algunas propiedades que vamos a desarrollar aquí:
Números con fórmula determinada
En la página OEIS enlazada se destaca que todos los números naturales de la forma 4k2+4k pertenecerán a esos pares como primer elemento (Amarnath Murthy). Se ve que contienen una parte cuadrada de al menos 4 y que su siguiente es 4k2+4k+1 = (2k+1)2, cuya parte cuadrada es él mismo.
Se observa también que 4k2+4k=8(k(k+1)/2), o lo que es lo mismo, que es 8 veces un número triangular. Así que si multiplicamos por 8 los números 1, 3, 6, 10, 15 se obtendrán 8, 24, 48, 80 y 120, que pertenecen todos al conjunto y es fácil ver que siguen la recurrencia X(n+1)=X(n)+8(n+1), lo que los convierte en una progresión aritmética de segundo orden.
Los números del tipo 4k2+4k pertenecen al conjunto.
Siguiendo un razonamiento similar, pertenecerán al conjunto los pares del tipo (n4+2n2) y (n4+2n2+1), y en general los (n2k+2nk) y (n2k+2nk+1).
Desarrollamos algunos ejemplos. Son pares del conjunto
(16+2*4, 16+2*4+1)=(24,25)
(81+2*9, 81+2*9+1)=(99,100)
(256+2*16, 256+2*16+1) = (288,289)
Observa ahora el segundo elemento de este tipo de pares, (2k+1)2. Es interesante demostrar la sugerencia que sobre ellos contiene la página citada. Imagina que multiplicamos ese cuadrado por un impar del tipo 4m+1. El resultado sería
(4m+1)(2k+1)2=(4m+1)(4k2+4k+1)=16mk2+16km+4m+4k2+4k+1=4H+1
Esto nos dice que esa expresión contiene el cuadrado (2k+1)2, pero si le restamos 1, la diferencia 4H contiene el cuadrado 4, luego ambos forman un par perteneciente al conjunto.
Si el cuadrado de un número impar lo multiplicas por otro impar del tipo 4m+1, obtienes el segundo elemento de uno de los pares del conjunto.
Revisa la lista y localizarás los productos 9, 9*5=45, 9*9=81, 9*13=117,… así como 49, 49*5=245,… todos como segundo elemento del par.
Si usáramos un impar del tipo 4m+3 en ese caso aparecería un primer elemento de par. Se demuestra de forma similar:
(4m+3)(2k+1)2=(4m+3)(4k2+4k+1)=16mk2+16km+4m+12k2+12k+3=4H+3
Él mismo contiene el cuadrado (2k+1)2, pero si le sumamos una unidad se convertirá en 4H+4=4(H+1) y también tendrá l divisor cuadrado 4.
Si el cuadrado de un número impar lo multiplicas por otro impar del tipo 4m+3, obtienes el primer elemento de uno de los pares del conjunto.
En este caso figurarán como primeros elementos 9*3=27, 9*7=63, 9*11=99,… como segundo elemento del par.
Todos los números del tipo (n+1)(n-1) pertenece al conjunto si uno al menos de los factores no está libre de cuadrados.
Es fácil verlo. Si uno de los factores contiene un divisor cuadrado, el producto también lo tendrá, luego es un candidato a figurar en el conjunto. Pero su consecutivo es n2-1+1=n2, luego también cumple tener una parte cuadrada no trivial. De ese tipo son: 8, 63, 80,…
Progresiones aritméticas en el conjunto.
Labos Elemer descubre en la página citada que existe en ese conjunto muchas progresiones aritméticas. Él da como ejemplo (36n+8, 36n+9). Intentaremos descubrir algunas.
Imagina un par cualquiera, (aX2, bY2). Calculemos el mínimo múltiplo común a X2 y a Y2, llamémosle H (no tiene que ser el mínimo. Nos vale cualquier múltiplo). Tendrá entonces a forma H=mX2 y también H=nY2. Si sumamos un múltiplo de H a ambos elementos del par tendremos: kH+ aX2, kH+ bY2 o bien k(m+a)X2, k(n+b)Y2. Estos nuevos elementos seguirán siendo consecutivos y con parte cuadrada mayor que 1, luego pertenecerán también al conjunto. Como k es variable, desembocaremos en una progresión aritmética.
Vemos un ejemplo. Tomamos un par de la tabla, como 98=2*72 y 99=11*32. Un múltiplo común de 72 y 32 es su producto 441, luego si a ambos les sumamos ese número reiteradamente resultarán más pares del conjunto:
(98, 99), (539, 540), (980, 981), (1421, 1422),…
Múltiplos de los términos
Hemos explorado la posibilidad de que si un número pertenece al conjunto como primer elemento del par o como segundo, exista un múltiplo suyo que también pertenezca.
En el caso del primero creemos que existe siempre un múltiplo suyo que también forma un par similar, pero lo dejamos como conjetura porque no podemos probarlo. Aquí tienes los primeros resultados. En la tabla figura el primer término del par y junto a él el número mínimo por el que debemos multiplicarlo para que resulte un múltiplo perteneciente al conjunto:
Por ejemplo, 116 y 117 forman par, porque ambos tienen una parte cuadrada mayor que 1: la de 116 es 4 y la de 117 es 9. Si, según la tabla, multiplicamos por 10, 1160 y 1161 también forman un par del conjunto, porque ambos también tienen parte cuadrada mayor que 1 (en este caso, valen también 4 y 9, pero es una casualidad)
Con el segundo término hemos realizado pruebas también y parece ser que todos ellos poseen un múltiplo perteneciente al conjunto también como segundo término del par.
Lo dejamos como conjetura.
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