martes, 7 de julio de 2015

Formas de ser un número equilibrado (3)

Equilibrados como media de números semejantes

Esta es la última entrada de la temporada 2014-15. Al igual que en años anteriores, nos tomaremos dos meses de descanso y preparación de material. Volveremos en septiembre si seguimos con fuerzas y aparecen nuevos temas, que cada vez son más difíciles de encontrar. 

Saludos a todas/os

Existen números equilibrados que son media entre el anterior y el posterior de la misma clase. Así, un número primo es equilibrado si es promedio de sus dos primos contiguos. Por ejemplo, 257 es media de su anterior 251 y el posterior 263, que por cierto también es primo equilibrado. Los tres primos componentes de la terna formarán, pues, una progresión aritmética.

Los primos equilibrados los tienes en http://oeis.org/A006562

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, …

Si dispones de las funciones ESPRIMO, PRIMANT y PRIMPROX (las puedes encontrar en http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#global ), es fácil encontrarlos. Por ejemplo, con esta función:

Public Function equiprimo(n)
If esprimo(n) And n = (primprox(n) + primant(n)) / 2 Then equiprimo = True Else equiprimo = False
End Function

Con ella es fácil reproducir la lista:



Las diferencias, salvo en el 5, son múltiplos de 6. La razón es que a partir del 5 todos los primos son del tipo 6n+1 o 6n+5. En las ternas que se forman tienen que ser todos del mismo tipo, ya que si el primero es 6n+1 y el segundo 6m+5, el tercero tendría el tipo 6m+5+(6k+4)=6h+3, no primo. Igualmente, si el primero es tipo 6n+5 y el segundo 6m+1, el tercero sería 6m+1+(6h+2). Lo puedes ver con Z6: Si el primero tuviera resto 1 y el último resto 5, el promedio presentaría resto 3 y no sería primo. Igual con los otros casos. Una consecuencia curiosa de esto es la sucesión publicada en http://oeis.org/A101597, que cuenta el número de compuestos comprendidos entre el primo equilibrado y sus contiguos, y es claro que todos los elementos tienen el valor 5, 11, 17,…es decir, un múltiplo de 6 menos 1.

Se ha conjeturado que existen infinitos primos equilibrados.

Otros números equilibrados

Con cuadrados

Ningún cuadrado como tal puede ser equilibrado, ya que (n+1)2-n2=2n+1 y n2-(n-1)2=2n-1. Igual le ocurre a los triangulares, ya que, por definición, la diferencia entre el triangular de orden n y su anterior es precisamente n, y con su posterior, n+1. No busques equilibrados entre números poligonales o procedentes de valores numéricos de polinomios.

Así que tendremos que ir visitando otros tipos de números hasta dar con aquellos que presenten elementos equilibrados.

Libres de cuadrados

Este tipo de números sí admite equilibrados. Los tienes en http://oeis.org/A245289

2, 6, 14, 17, 19, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 53, 55, 58, 66, 70, 78, 86, 89, 91, 94, 102, 106, 110, 114, 130, 138, 142, 158, 161, 163, 166, 170, 178, 182, 186, 194, 197, 199, 202, 210, 214, 218, 222, 230, 233, 235, 238,…

Los hemos reproducido con hoja de cálculo, incorporando sus factores primos, y nos ha llamado la atención que en la terna de libres de cuadrados consecutivos figuran muchos primos, lo que hace que el M.C.D. de los integrantes de la terna sea frecuentemente un 1.




Hemos buscado factores comunes en muchas ternas, hasta 10^8, y sólo hemos encontrado el 2. No parece que tengan en común los factores 3, 5 o 7. Si aparece este caso, será para números muy grandes. Con PARI hemos obtenido listados de ternas con M.C.D. igual a 2, pero no para valores mayores. No tenemos respuesta para la cuestión de si terminarán apareciendo.



Semiprimos equilibrados

También se pueden encontrar ternas de semiprimos consecutivos que formen progresión aritmética, con lo que el central de la terna sería un semiprimo equilibrado. Son estos:

34, 86, 94, 122, 142, 185, 194, 202, 214, 218, 262, 289, 302, 314, 321, 358, 371, 394, 407, 413, 415, 422, 446, 471, 489, 493, 497, 517, 535, 562, 581, 586, 626, 634, 669, 687, 698, 734, 785, 791, 815, 838, 842, 922, 982, 989, 1042, 1057, 1079, 1135, 1138,… http://oeis.org/A213025

Podemos investigar aquí también qué factores comunes tienen estas ternas de semiprimos. Hemos encontrado ternas con el factor 2 en común:



En ellas los otros factores que acompañan al 2 son ternas de primos equilibrados.

Esfénicos equilibrados

Existen esfénicos (productos de tres primos distintos) que son equilibrados, es decir, que forman ternas en progresión aritmética con el anterior y el posterior esfénico. Forman esta sucesión:

186, 370, 406, 418, 518, 582, 602, 710, 786, 814, 826, 830, 942, 978, 994, 1010, 1034, 1070, 1162, 1310, 1374, 1394, 1570, 1630, 1686, 1758, 1886, 1978, 2014, 2114, 2158, 2270, 2274, 2278, 2294, 2438, 2510, 2534, 2570, 2630, 2666, 2690, 2774, 2778, 2782, 2806, …

Entre ellos figura el año 2014, que ya se comentó en su día que formaba una terna de esfénicos con el 2013 y el 2015.

Los hemos publicado en http://oeis.org/A258276
(Aprobada y pendiente de publicación)
Siguiendo con la idea de estudiar el MCD de los tres elementos de la terna, aquí encontramos una gran variedad de números primos como resultado, entre ellos 705, 710 y 715 con factor común 5, o  3311, 3322 y 3333 con el 11. Al tener tres factores es más fácil obtener estos resultados.

Podríamos estudiar la misma cuestión con números formados por el producto de cuatro primos distintos, y también encontraríamos equilibrados:

1518, 1554, 2190, 2590, 3354, 4710, 4970, 5810, 7566, 8170, 10506, 11110, 11346, 12194, 12610, 13706, 14098, 15690, 16874, 17574, 18538, 18734, 19830, …

No hemos querido seguir para no cansar a los lectores. Si estudias el código PARI que hemos usado puedes proseguir el estudio en esa dirección, cambiando el 4 por 5, 6 o 7.

is4prim(n)=if(n>0,omega(n)==4&&bigomega(n)==4,0)
next4prim(n)={local(k=n+1);while(!is4prim(k),k+=1);k}
prec4prim(n)={local(k=n-1);while(!is4prim(k)&&k>0,k-=1);k}
{for(i=1,10^4,if(is4prim(i)&&2*i== next4prim(i)+ prec4prim(i),print(i)))}