Desde hace unos meses publico cálculos sobre la fecha del día en Twitter (@connumeros). Entre ellos aparecen algunos que se pueden desarrollar con Cartesius. Veamos unos ejemplos:
Sumas simétricas de cuadrados
El número 2147 se puede descomponer en una suma simétrica de tres cuadrados:
2147=23^2+33^2+23^2
¿Cómo encontrar, si existen, particiones similares en otro número?
El conjunto de condiciones es muy simple. Para el número 1298 sería:
xtotal=2
xt=1..37
x1=suc(n^2)
x2=suc(2*n^2)
suma=1298
El número de columnas es dos, porque los cuadrados iguales los agrupamos en un solo sumando. El rango 1..37 está elegido mediante la raíz cuadrada entera de 1298 por exceso. Finalmente, el primer sumando recoge un cuadrado y el segundo dos.
El resultado es:
Arriba aparecen dos juegos de sumandos y debajo hemos añadido la raíz cuadrada del primer sumando y la de la mitad del otro, resultando las bases (24,19) y (36,1), que dan lugar a las descomposiciones simétricas:
1298=19^2+24^2+19^2
1298=1^2+36^2+1^2
Otros números no admiten ninguna suma de este tipo. Inténtalo con 1300.
Se pueden imaginar otros conjuntos de condiciones. El siguiente es más intuitivo, pero algo más lento:
xtotal=3
xt=1..37
xt=suc(n^2)
es x1=x2
suma=1298
creciente
En él exigimos que X1=X2 y que los sumandos sean todos cuadrados. De esta forma aparecen los cuadrados iguales de forma más clara:
Algo más difícil de encontrar es un conjunto con cuatro cuadrados iguales y otro distinto, que puede ser el central. Así ocurre con el número 117:
117=3^2+3^2+9^2+3^2+3^2
Para otros números, por ejemplo el 116, vale este conjunto de condiciones:
xtotal=2
xt=1..11
x1=suc(n^2)
x2=suc(4*n^2)
suma=116
Es similar al caso de tres sumandos, cambiando 2*n^2 por 4*n^2. Obtenemos:
Se pueden interpretar como:
116=5^2+5^2+4^2+5^2+5^2
116=2^2+2^2+10^2+2^2+2^2
Finalmente, una simetría muy atractiva es la de cuadrados alternados.
210=4^2+9^2+4^2+9^2+4^2
Como en casos anteriores, no todos los números enteros las admiten. Las condiciones pueden ser:
xtotal=2
xt=1..11
x1=suc(2*n^2)
x2=suc(3*n^2)
suma=210
Dan lugar al juego de cuadrados anterior y otro más:
210=8^2+3^2+8^2+3^2+8^2
Te dejamos abiertas otras posibilidades similares.
Sumas de potencias
Esta descomposición es más difícil de lograr. Por ejemplo, se puede intentar descomponer un número en potencias de 2 y de 3. Si no permitimos repetir sumandos hanrá menos posibilidades. Intentemos conseguirlo con cinco sumandos, dos para la base 2 y tres para la base 3 (podían ser otros).
En el caso de 113 lo logramos:
xtotal=2
x1=1..8
x2=1..4
x1=suc(2*2^n)
x2=suc(3*3^n)
suma=113
Si has entendido los ejemplos anteriores comprenderás cómo funciona este. Hemos asignado rangos distintos para X1 y X2 para ahorrar tiempo. El resultado obtenido ha sido:
113=2^4+2^4+3^3+3^3+3^3
También se pueden intentar sumandos únicos. Por ejemplo:
10817=22^3+13^2
Te dejamos que concretes las condiciones. Ese mismo número, 10817, admite una suma simétrica con cuadrado y cubo:
10817=61^2+15^3+61^2
Potencias superiores
Por experiencia sabemos que no es fácil la descomposición en potencias cuartas. Aquí tienes las condiciones para descomponer 210:
xrango=5
xt=1..6
xt=suc(n^4)
suma=210
creciente
Hemos tenido que llegar a cinco sumandos en este caso:
210=2^4+2^4+2^4+3^4+3^4
Prueba con otros números, y verás que es difícil que admitan estas descomposiciones.
Una curiosidad que se publica en las redes es la de descomponer un número en suma de potencias de sus cifras. Es muy raro que esto ocurra. Si quieres experimentar, puedes usar algo similar a esto:
xtotal=4
x1=1..12
x2=1..7
x3=1..4
x4=1..4
x1=suc(2^n)
x2=suc(3^n)
x3=suc(5^n)
x4=suc(6^n)
suma=2356
Este es el planteamiento para el 2356 (elegido al azar). Hemos ajustado los rangos para x1, x2, x3 y x4 de la forma una forma óptima, y se han obtenido dos soluciones:
Corresponden a dos sumas de potencias:
2356=2^3+3^7+5^3+6^2
2356=2^7+3^7+5^1+6^2
Productos cíclicos
Con expresiones similares podemos buscar sumas de otros tipos. Un ejemplo que solemos publicar es el de productos cíclicos de tres factores, del tipo
N=a*b+b*c+c*a
No es demasiado complicado organizar un conjunto de condiciones que lo logre. Es aconsejable un rango de búsqueda que llegue hasta la raíz cuadrada de N, para que no se nos escape ninguna posibilidad. Proponemos estas condiciones, en el caso de N=324
xtotal=3
xt=1..18
es x1*x2+x2*x3+x3*x1=324
creciente
La condición interesante es la tercera, que mediante la condición ES obliga a una suma de productos cíclicos con tres factores. Obtenemos:
Podemos comprobarlo:
324=4*13+13*16+16*4
324=6*9+9*18+18*6
324=6*12+12*14+14*6
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