jueves, 11 de enero de 2018

Pirámides cuadrangulares en cuatro dimensiones


Estudiamos en una entrada anterior los números piramidales de tres lados en cuatro dimensiones, que se formaban sumando los términos de la sucesión de tetraedros de tres dimensiones y eligiendo las sumas parciales.

Lo puedes consultar en http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/11/numeros-piramidales-de-cuatro.html


Pirámides cuadrangulares

De la misma forma, si tomamos la sucesión de números piramidales cuadrados de tres dimensiones (ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/05/numeros-piramidales-3-cuadrados.html), podemos ir obteniendo sus sumas parciales.

Estos son los números piramidales cuadrados:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201, 6930, 7714, 8555, 9455,…
Formamos sus sumas parciales:


1, 6, 20, 50, 105, 196, 336, 540, 825, 1210, 1716, 2366, 3185, 4200, 5440, 6936, 8721, 10830, 13300, 16170, 19481, 23276, 27600,…

Se obtienen así: 1=1, 1+5=6, 1+5+14=20, 1+5+14+30=50,…

Esta será la sucesión de números piramidales cuadrados de cuatro dimensiones. Los nombraremos como PIR4_4(n)

Los tienes publicados en http://oeis.org/A002415

Obtención de la fórmula polinomial

Ya estudiamos este procedimiento en una entrada anterior de esta serie
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/09/numeros-figurados-e-interpolacion.html

Consiste en usar la fórmula de interpolación de Newton aplicada a los primeros números naturales. Remitimos a la entrada enlazada para seguir el procedimiento. En primer lugar escribimos los primeros términos 1, 6, 20, 50, 105, 196, 336,… y obtenemos sus diferencias sucesivas de forma automática:


Como las quintas diferencias son nulas, el polinomio interpolador será de cuarto grado. Los coeficientes los tienes en la parte baja en forma de fracción. Así quedaría:

1+5(x-1)+9/2(x-1)(x-2)+7/6(x-1)(x-2)(x-3)+2/24(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

Lo podemos simplificar con wxMaxima:



O en la web de Wolfram Alpha, obteniendo el mismo resultado:


Hay que tener en cuenta que esta expresión es válida si se comienza la sucesión en 1. Podrás encontrar otras distintas cuando el inicio contenga ceros.

La comprobamos, por ejemplo para n=5 y n=6:

PIR4_4(5)=5*6^2*7/12=105
PIR4_4(6)=6*7^2*8/12=4*49=196

Expresión con números combinatorios

Todos los números figurados se pueden expresar mediante números combinatorios de una forma más o menos compleja. En este caso disponemos de dos expresiones



(n+3)(n+2)(n+1)n/12-(n+2)(n+1)n/6=(n+2)(n+1)n((n+3)/12-1/6)=n(n+2)(n+1)^2/12, que coincide con la fórmula obtenida más arriba.

Podemos comprobarlo también con la función COMBINAT de las hojas de cálculo:

Para n=6 tendríamos =2*COMBINAT(9;4)-COMBINAT(8;3)=196

Coincide con el resultado obtenido anteriormente.

Puedes probar también con esta otra:



Así, PIR4_4(7)=COMBINAT(10;4)+COMBINAT(9;4)=336, que es su valor correcto.

No es difícil comprobar la equivalencia de ambas expresiones combinatorias.

En la siguiente imagen del triángulo de Pascal hemos rodeado de círculos estos números combinatorios que sirven de sumandos:



Podeos sumar cada uno con el siguiente y resultarán piramidales cuadrados de 4 dimensiones:

1+5=6;  5+15=20;  15+35=50;  35+70=105;

Interpretación geométrica

Al igual que ocurría con las pirámides triangulares y los triángulos, estos números pueden representar el número de cuadrados que se pueden dibujar en una rejilla cuadrada de n vértices, si sus lados no son paralelos a los de la rejilla. En la imagen hemos representado cuatro de ellos.



Podemos razonar de un modo similar al que usamos con triángulos.

En primer lugar contaremos los cuadrados que se pueden dibujar si sus lados han de ser paralelos a las líneas de la rejilla. Por ejemplo, en la imagen se pueden dibujar 36 cuadrados de lado 1, 25 de lado 2, 16 de 3, y así hasta el cuadrado total que sería uno solo. Por tanto, el número de cuadrados de lados paralelos sería 1+4+9+16+25+36=91.

Resulta ser equivalente a un número piramidal cuadrado de índice 6. En efecto, puedes repasar la definición y fórmulas en

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/05/numeros-piramidales-3-cuadrados.html

Dentro de cada cuadrado de lado k en posición paralela se pueden dibujar k-1 cuadrados de los que nos interesan



En el caso del lado seis, podemos acumular los cuadrados según el número de lados, y obtendríamos:

36*0+25*1+16*2+9*3+4*4+1*5=105=PIR4_4(5)

Con cinco lados obtendríamos un resultado similar:

25*0+16*1+9*2+4*3+1*4=50=PIR4_4(4)

La demostración general supone mucho cálculo algebraico que nos da pereza abordar.


lunes, 1 de enero de 2018

Bienvenida al 2018


Como en todos los meses de diciembre y enero, damos la bienvenida al nuevo año. En esta entrada se resume  la colección de tweets publicada a lo largo de estos dos meses (Antonio Roldán @Connumeros)y dedicada a las propiedades del 2018.

Expresiones simples

La expresión más sintética, con las cifras 4 y 3:
2018=43×(43+4)-3

Y otra periódica:
2018=(2+5+1)×251+2×5×1

2018 con las primeras cifras

2018=(1111-111+11-1-1)(1+1)
2018=2×(2^(2^2+2^2+2)-(2+2)^2)+2
2018=333×(3+3)+3×3+3×3+3!/3
2018=44×44+44+44-4!/4
2018=5^5-555-555+(5+5+5)/5
2018= (666+6)×6×6/(6+6)+(6+6)/6
2018=7×7×(7×7-7-7/7)+7+(7+7)/7
(8×8×8-8)×8×8/(8+8)+(8+8)/8
2018=999+999+9+9+(9+9)/9

Periodicidad de cifras y simetría

El 2018 se engendra con el periodo de cifras 1 y 8:

2018=1818+181+8+18+1-8

Una representación del 2018 con dígitos simétricos:

2018=(1+4)×31×13+4-1
2018=4+3×3×223+3+4

2018 se puede obtener mediante las cifras de los nueve primeros primos:

2018=(23+5)(71+1+1)-(3+1+7+1+9+2+3)

Las cifras 2, 3, 4, 5 y 6 engendran 2018 en una escala de dos en dos:

2018=2×(23+3)×(4+4)×5-56-6

Lo que empieza el 2 lo termina el 6:

2018=22×2×(2+26+6+6+6)-6

Pandigitales y crecientes

2018 con dos pandigitales:

2018=2048-(9+6+3)×1-5-7
2018=8×(3-1)+2×7×(5+6+0)(4+9)

Subidas y bajadas de cifras con el 2018:

2018=(987+65-43)×2×1
2018=1×2×(3!+45+67+891+0)
2018=(9+8+7+6+54+3+2+1+0+1)×23-45-6-7-8-9

2018 con los números importantes

Con las cifras de p

2018=314×(1-5+9+2)-(65+3+5!)+8

Con las cifras del número “e”

2018=271×8-2×81+8+2+8/4

Con las cifras del número áureo

2018=1618+0+339+8×8-7+4

Con las cifras del número de plata

2018=2×((4!+1)×42-1×35-6)

Con las cifras del número de bronce

2018=(330+2+7+7+5)×6-(37+73)×1+9+9+4

2018 y los palíndromos de cifras

De tres elementos:

2018=8+2002+8
2018=878+262+878
2018=797+424+797
2018=575+868+575

Con sumas y productos:

2018=2×353+606+353×2
2018=5×121+808+121×5
2018=8×9×11+434+11×9×8
2018=3×5×5×8+818+8×5×5×3

Palíndromo formado por cuadrados:

2018 =4×4+5×5+44×44+5×5+4×4


2018 con las sumas de potencias

Con cuadrados

2018 equivale a una suma de dos cuadrados, y su cuadrado también:
2018=13^2+43^2
2018^2=1118^2+1680^2

Sumas de tres cuadrados para el 2018:

2018=1^2+9^2+44^2
2018=3^2+28^2+35^2
2018=5^2+12^2+43^2
2018=8^2+27^2+35^2
2018=9^2+16^2+41^2
2018=19^2+19^2+36^2
2018=20^2+23^2+33^2

2018 se descompone de 35 formas diferentes en suma de cuatro cuadrados. Estas son las más llamativas:

2018 =15^2+28^2+28^2+15^2
2018 =18^2+18^2+23^2+29^2
2018 =15^2+21^2+26^2+26^2
2018 =2^2+5^2+30^2+33^2

Sumas simétricas de cinco cuadrados:

2018 =4^2+31^2+8^2+31^2+4^2
2018 =19^2+24^2+12^2+24^2+19^2

Otras potencias:

2018 es suma de cuatro cubos:
2018=1^3+7^3+7^3+11^3
2018 es suma de cuatro cuartas potencias:
2018=2^4+3^4+5^4+6^4
2018 equivale a una suma simétrica de cinco potencias cuartas:
2018 =4^4+5^4+4^4+5^4+4^4

2018 se genera con sumas de potencias de exponentes diferentes:

2018=3^4+1^3+44^2
2018=1^4+12^3+17^2
2018=2^8+3^4+41^2
2018=3^6+10^3+17^2

Expresiones con términos del mismo tipo

Factoriales

2018=3!×(4!+4!+5!)×2!+2!
2018=6!×(2!+1!)-5!-4!+2!


Cubos

2018=1^3+(6^3+2^3)×(2^3+1^3)+1^3
2018=1^3+(2^3+2^3)×(5^3+1^3)+1^3

Cuartas potencias

2018=4^4+7^4+1^4+1^4-2^4-5^4
2018=6^4+3^4+6^4-5^4-2^4-2^4+1^4+1^4

Quintas potencias

2018=1^5+4^5-2^5+4^5+1^5
2018=1^5+1^5+4^5+4^5-2^5

Productos cíclicos

2018 admite tres desarrollos en productos cíclicos

2018=12×34+34×35+35×12
2018=14×27+27×40+40×14
2018=19×20+20×42+42×19