jueves, 24 de mayo de 2018

Números piramidales centrados (1/4)


En esta entrada generaremos números piramidales a partir de los poligonales centrados. Por eso puede ser conveniente que leas las dos entradas de este blog que tratan dichos números figurados:

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2018/01/poligonales-centrados-1.html
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2018/01/poligonales-centrados-2.html


Al igual que los números poligonales centrados se formaban acumulando contornos de polígonos o de múltiplos de un número, podríamos también acumular estos números poligonales centrados mediante sus sumas parciales. Estas sumas se pueden representar como niveles dentro de una pirámide centrada. Lo vemos en la imagen, que representa las pirámides centradas de tres lados que estudiaremos a continuación:


Son pirámides que contienen en el interior de sus bases los polígonos anteriores.


Pirámides triangulares centradas

Siguiendo un proceso similar al de casos anteriores, partimos de los números triangulares centrados

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901,…, ya estudiados en las entradas referidas y en http://oeis.org/A005448

Los acumulamos mediante sumas parciales:

1, 1+4=5, 1+4+10=15, 1+4+10+19=34,… y así hasta completar. De esta forma se generarán los piramidales triangulares centrados

1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1379, 1695, 2056, 2465, 2925, 3439, 4010, 4641, 5335, 6095, 6924, 7825, 8801, 9855, 10990, 12209, 13515, 14911, 16400, 17985, 19669,… http://oeis.org/A006003

Los tres primeros se corresponden con la imagen del primer párrafo.

En este caso también podemos usar el interpolador de Newton para los primeros números naturales, que puedes descargar desde http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#newton

Rellenamos los valores de la función con los primeros términos 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175 y leemos los coeficientes en la parte inferior:



El polinomio interpolador será

1+4(x-1)+3(x-1)(x-2)+(x-1)(x-2)(x-3)/2

Simplificamos mediante la web de Wolfram|Alpha y obtenemos



Este es un caso particular de la fórmula contenida en el libro Figurate Numbers, de Elena Deza y Michel Deza, que sólo incluimos como comprobación, ya que nos interesa la generación de cada caso particular. Es esta:


Particularizando para m=3 resulta la que hemos obtenido.

Por ejemplo, PIRC3(9)=9*82/2=369, que es el noveno término de nuestra lista de más arriba.
La expresión que hemos obtenido coincide con la que figura en http://oeis.org/A006003

Uso de Calcupol

Pasamos a usar nuestra calculadora Calcupol, (http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados) cuyas prestaciones hemos ampliado con la inserción de una nueva tecla que gestiona estas pirámides centradas



Su funcionamiento es similar a las dedicadas a números poligonales y otros piramidales: escribimos el orden m (que en este caso valdría 3), después pulsamos la tecla PIRC con el ratón, escribimos el valor de n, por ejemplo 7, y terminamos con la tecla =. Nos resultaría, en este caso del 7, el valor de 175, que coincide con el séptimo término de la sucesión que estamos estudiando:




Propiedades

Desarrollamos a continuación algunas propiedades de estos números. Comenzamos con una de Felice Russo incluida en http://oeis.org/A006003

Se expresa así:

Si escribimos los números naturales en grupos de longitud progresiva desde el 1, es decir, formamos: 1;  2,3;  4,5,6;  7,8,9,10;… y sumamos cada grupo, obtenemos los piramidales que estamos estudiando:

1=1
2+3=5
4+5+6=15
7+8+9+10=34
11+12+13+14+15=65

No es difícil justificarlo. Basta observar que la suma de enteros consecutivos desde 1 hasta k es el número triangular k(k+1)/2, luego los grupos formados tendrán como suma la diferencia entre el triangular correspondiente al último término y el del anterior grupo. Así, 7+8+9+10=T(10)-T(6)=10*11/2-6*7/2=55-21=34, como era de esperar.

Sólo hay que advertir que los índices de esos triangulares son a su vez triangulares también, 10=4*5/2 y 6=3*4/2, y además consecutivos. Esto nos permite plantearlo con la variable x:

S(x)=T(x(x+1)/2)-T(x(x-1)/2) = (x(x+1)/2)*(x(x+1)/2+1)/2-(x(x-1)/2)*(x(x-1)/2+1)/2

Acudimos de nuevo a Wolfram|Alpha para simplificar y comprobamos:



Nos resulta la fórmula esperada de estos piramidales centrados, luego la propiedad es cierta.


Propiedad combinatoria

Los piramidales centrados que estamos estudiando son suma de tres números combinatorios a partir del 15:



Basta desarrollar: ((n)(n-1)(n-2)+(n+1)(n)(n-1)+(n+2)(n+1)(n))/6=
=n/6*(n2-3n+2+n2-1+n2+3n+2)
=n/6*(3n2+3)=(n3+n)/2

Significa que si recorremos la cuarta diagonal del triángulo aritmético y sumamos de tres en tres, resultarán los números que estamos estudiando:

En una imagen tomada de la Wikipedia hemos señalado los números que debemos sumar:



Así, 1+4+10=15, 4+10+20=34, 10+20+35=65,…

Relación con los triangulares


(Bruno Berselli, Jun 07 2013)

Es claro su significado: Si a un número triangular le sumamos el anterior multiplicado por el número de orden del primero, resulta un piramidal triangular centrado.

Así 3+2*1=5, 6+3*3=15, 10+4*6=34…

En forma de tabla:



Se ha destacado en rojo el cálculo: multiplicar el anterior por el número de orden y sumar el actual triangular.

Se demuestra con un simple desarrollo:

T(n)+nT(n-1)=n(n+1)/2+n*(n-1)*(n)/2=n/2*(n+1+n2-n)=n/2(n2+1)=(n3+n)/2

Llegamos a la misma expresión ya conocida.


miércoles, 16 de mayo de 2018

Productos de tres divisores (3/3)



En la tercera entrada de esta serie (puedes consultar las anteriores fácilmente en el blog) seguiremos intentando descubrir algunas propiedades curiosas que se pueden deducir de la descomposición de un número natural en tres factores también naturales.

Haremos alguna referencia a funciones o rutinas ya explicadas en las dos entradas anteriores.

Variantes

Cambiando adecuadamente las líneas de código de la función trifactor podemos descubrir algunas propiedades de cada terna de factores. Vemos algunas

Sumas pitagóricas

Puede ocurrir que los tres factores sean parte de un conjunto pitagórico de tres dimensiones (lados de un ortoedro y su diagonal). Aquí tienes los primeros:



Por ejemplo, 108 presenta tres descomposiciones pitagóricas:

108=1*6*18, y 12+62+182=361=192
108=2*6*9, y 22+62+92=121=112
108=3*6*6, y 32+62+62=81=92

Puedes comprobar, para practicar, las tres posibilidades que presenta 256.

Estos números están publicados en http://oeis.org/A118901

A118901 Volumes of cuboids with integer sides and main diagonal.

4, 32, 36, 108, 112, 140, 144, 220, 252, 256, 288, 364, 396, 400, 500, 540, 608, 612, 644, 756, 832, 864, 896, 900,…

El texto explicativo en inglés identifica los tres factores como los lados enteros de un ortoedro con diagonal también entera, y los términos de la sucesión se corresponden con los volúmenes.

Con la hoja trifactor.xlsm basta añadir otra columna y elegir las hipotenusas sin decimales. En la siguiente imagen lo hemos probado con el número 256:



Suma cuadrada

En lugar de buscar una hipotenusa, podemos elegir las sumas de factores que sean cuadradas. Aquí tienes el resultado:



Hemos acompañado a cada número los factores cuya suma es un cuadrado y junto a ellos esa suma. Por ejemplo:

44=1*2*22, S=1+2+22=25=52
62=1*1*62, S=1+1+62=64=82

Se observa que varios números presentan dos soluciones. El 128 es el primer número con tres soluciones: 1* 8* 16, S=25;  2*2*32, S=36; 4*4*8, S=16

Si deseas practicar con elementos de programación, puedes estudiar y mejorar el código en PARI que se ha usado.

for(n=1, 300, t=0; v = truncate(n/2); for(i = 1, v, if(n%i == 0, for(j = i, v,  if(n%j == 0, k = n/(i*j); if(k == truncate(k)&&n%k == 0&&k >= j, if(issquare(i+j+k), t = 1)))))); if(t == 1, print1(n,", ")))


Otras propiedades

Una vez que sabemos alinear bien en una hoja de cálculo todas las ternas de factores cuyo producto es un número dado, con pequeños cambios de código descubriremos otras propiedades. Insertamos algún ejemplo:

Suma prima

Estos son los primeros números cuyas sumas de “trifactores” es prima:



Vemos que, por ejemplo, el 36 posee tres soluciones:
36=1*6*6, S=13; 36=2*2*9, S=13; 36=2*3*6, S=11

Suma capicúa

Esta propiedad da lugar a menos casos. Se ve que resulta más exigente:



Suma cúbica

Por último, aunque se pueden buscar más propiedades, listamos los números cuyos factores suman un cubo:




ANEXO

Function igualsum_trifactor$(n)
Dim i, j, k, v, t, ns, cs
Dim s(100)
Dim ss$

ns = 0
t = 0
v = n / 2
For i = 1 To v
If n / i = n \ i Then
For j = i To v
If n / j = n \ j Then
k = n / i / j
If k = Int(k + 0.0001) Then
If n / k = n \ k And k >= j Then
ns = ns + 1
s(ns) = i + j + k
t = t + 1
End If
End If
End If
Next j
End If
Next i
ss = "": cs = 0
For i = 1 To ns
For j = 1 To i
If i <> j And s(i) = s(j) Then
cs = cs + 1
ss = ss + " " + Str$(s(i))
End If
Next j
Next i
ss = Str$(cs) + " : " + ss
ss = Right$(ss, Len(ss) - 1)
igualsum_trifactor = ss
End Function

lunes, 7 de mayo de 2018

Productos de tres divisores (2/3)


En la entrada anterior presentamos unos algoritmos de complejidad creciente en el problema de descomponer un número en tres factores enteros positivos, y lo organizamos para hacer notar la conveniencia de no acudir por sistema a cálculos de “fuerza bruta”, en los que aprovechamos la potencia de cálculo de nuestro equipo informático, sin analizar previamente otros métodos más eficientes. En esta otra entrada lograremos que los resultados residan en la misma hoja de cálculo, para así poderlos manipular más adelante.

Conversión en subrutina

Supongamos que poseemos la lista de divisores del número dado. En nuestros cálculos usamos la función LISTADIV, de diseño propio, pero se basa en otras funciones algo complejas que requieren un entorno distinto a una entrada de blog. No obstante, existen muchas herramientas en Internet que nos pueden proporcionar esa lista. Últimamente acudimos a la página de WolframAlpha. Le podemos pedir los divisores de 4218:



El resultado será:



Es muy probable que conozcas otras herramientas, como Wiris, WxMaxima u otra similar que te ofrezca la lista de divisores. Desde aquí te podemos ofrecer nuestro Buscador de Naturales, alojado en

http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador

Si lo descargas, habilita contenido y macros. Basta observar la imagen para entender su funcionamiento:



Hemos diseñado una búsqueda entre 1 y 4218, borrado las condiciones y añadida la de DIVISOR 4218. Con esto, obtenemos los 16 divisores deseados:



La ventaja de usar el Buscador es que nos devuelve el resultado en columna y en formato de hoja de cálculo. A partir de ella, con Copiar-Pegar podemos abordar otros desarrollos. El primero, que es el que da título a este apartado, es el de convertir la función trifactor en una subrutina tal que dada la columna de divisores, nos devuelva el conjunto de las descomposiciones en tres factores. Así lo hemos efectuado en la hoja de cálculo trifactor.xlsm, que puedes descargar desde

http://www.hojamat.es/blog/trifactor.xlsm

En ella aparecen los factores ocupando celdas distintas, lo que propicia su estudio posterior. En la imagen puedes reconocer la propiedad con la que comenzamos esta serie de entradas, y es que 4218 presenta productos con la misma suma de factores, 132 y 96:



Omitimos el código de la subrutina, ya que coincide con la función trifactor salvo la escritura y lectura de celdas. Lo puedes estudiar si abres la hoja que ofrecemos y eliges Programador – Visual Basic




A la derecha de la pantalla tendrás la subrutina trifactor:



(La imagen no abarca toda la rutina)

Búsquedas de números

La hoja trifactor no permite buscar números con propiedades similares a la del 4218 (poseer dos sumas de factores iguales). Por ello, volveremos a la función trifactor, que iremos modificando según la propiedad que nos interese.
En primer lugar diseñamos la función igualsum_trifactor(n), que nos devuelve el número de pares de igual suma entre las descomposiciones en tres factores.

No es bueno incluir demasiados códigos nuevos, por lo que insertamos el suyo en el Anexo de la tercera entrada de la serie. Con ella se puede descubrir, por ejemplo, que entre 1 y 100 sólo existe un número que presente sumas iguales, y es el 90, cuyos factores pueden sumar 16 o 20 dos veces. En la imagen lo puedes comprobar:



Las sumas repetidas son 2+3+15=1+9+10=20 y 3+3+10=2+5+9=16
En concreto, estos son los primeros números que presentan repeticiones en sus productos (se cuentan pares, de forma que si existen tres sumas iguales se contarán como tres pares)



Entre estos números figura el 546 que ya analizamos.

Estos resultados se pueden comprobar con la hoja trifactor.xlsm que presentamos más arriba. Sin embargo, podemos proponer el uso de nuestra hoja Cartesius

(http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

En ella podemos definir una etiqueta nueva en la hoja “Etiquetas” que haga referencia a los divisores del número que estemos estudiando. Elegimos el 360, que presenta muchos pares de sumas iguales, y la encabezamos con la etiqueta DIV


Después se programan las condiciones


En las condiciones (siguiendo su orden) pedimos que sean tres los factores, que abarquen del 1 al 24, que es el número de divisores de 360. Seguidamente se indica que los datos figuran en la etiqueta DIV, exigimos que el producto de los tres sea 360 y que figuren en orden creciente.

Con este planteo se obtienen 32 productos distintos



Junto a ellos podemos calcular su suma, y comprobar si resultan cinco pares de resultados iguales. En esta imagen parcial de la tabla de sumas se han destacado en negrita los cinco pares de sumas iguales:



En la siguiente entrada descubriremos nuevas propiedades.